Euklides

Sammanfattning

Euklides (grekiska Εὐκλείδης, Eukleidēs, latin Euclīdēs) var en grekisk matematiker och geometriker (ca 325 f.Kr. – ca 265 f.Kr.). Han är känd som ”geometrins fader” och var verksam i Alexandria (det gamla Egypten) under Ptolemaios I Soter (323-283 f.Kr.) och var grundaren av stadens matematiska skola.

Hans mest berömda verk var Elementen, som ofta anses vara den mest framgångsrika läroboken i matematikens historia. Egenskaperna hos geometriska objekt och naturliga tal härleds från en liten uppsättning axiom. Detta verk, som är en av de äldsta kända avhandlingarna som systematiskt presenterar, med bevis, en stor uppsättning satser om geometri och teoretisk aritmetik, har fått hundratals upplagor på alla språk, och dess ämnen ligger fortfarande till grund för matematikundervisningen på sekundärnivå i många länder. Euklids namn kommer från Euklids algoritm, euklidisk geometri (och icke-euklidisk geometri) och euklidisk division. Han skrev också om perspektiv, koniska sektioner, sfärisk geometri och talteori.

Hans liv är föga känt, eftersom han levde i Alexandria (en stad i norra Egypten) under Ptolemaios I:s regeringstid. Vissa arabiska författare hävdar att Euklides föddes i Tyrus och levde i Damaskus. Vissa arabiska författare hävdar att Euklides föddes i Tyrus och levde i Damaskus. Det finns ingen direkt källa till Euklides liv: inget brev, ingen självbiografisk uppgift (inte ens i form av ett förord i ett verk), inget officiellt dokument och inte ens någon anspelning från någon av hans samtida. Som matematikhistorikern Peter Schreiber sammanfattar det: ”Det finns inte ett enda säkert faktum om Euklides liv. Han var son till Naucrates och tre hypoteser har lagts fram:

Euklid studerade troligen vid Platons akademi och lärde sig grunderna för sin kunskap.

Proklos, den siste av de stora grekiska filosoferna, som levde omkring år 450, skrev viktiga kommentarer till bok I i Elementarerna. Dessa kommentarer utgör en värdefull källa till information om den grekiska matematikens historia. Vi vet t.ex. att Euklides sammanförde bidrag från Eudoxus av Cnidus om proportionsteorin och från Theaetetus om regelbundna polyeder.

Den äldsta kända skriften om Euklides liv finns i en sammanfattning av geometrins historia som skrevs på 500-talet e.Kr. av den neoplatonistiske filosofen Proclus, en kommentator till den första boken i Elementarerna. Proklos själv ger ingen källa till sina uppgifter. Han säger bara: ”Han samlar sina element och framhäver på ett ovedersägligt sätt det som hans föregångare hade lärt ut på ett avslappnat sätt. Denna man levde däremot under den första Ptolemaios, eftersom Arkimedes nämner Euklid. Euklid är därför nyare än Platons lärjungar, men äldre än Arkimedes och Eratosthenes.”

Om Proclus” kronologi accepteras, levde Euklid mellan Platon och Arkimedes och var samtida med Ptolemaios I, omkring 300 f.Kr.

Inget dokument motsäger dessa få meningar, och inget dokument bekräftar dem heller. Euklides direkta omnämnande av Archimedes arbeten kommer från en passage som anses tvivelaktig.

Archimedes hänvisar till vissa resultat av Elementarerna och en ostrachos, som hittats på ön Elephantine och som är daterad till III f.Kr.: den behandlar figurer som studeras i bok XIII av Elementarerna, som t.ex. dekanon och isosaeder, men utan att exakt återge de euklidiska påståendena; de kan därför komma från källor som föregick Euklides. Det ungefärliga datumet 300 f.Kr. anses dock vara förenligt med analysen av innehållet i det euklidiska verket och är det datum som antagits av matematikhistoriker.

Å andra sidan finns det en anspelning från matematikern Papo av Alexandria i fjärde e.Kr. som tyder på att elever till Euklid skulle ha undervisat i Alexandria. Vissa författare har förknippat Euklid med Museion i Alexandria på grundval av detta, men han förekommer inte i något officiellt dokument. Det epitet som ofta förknippas med Euklid i antiken är helt enkelt Stoitxeiotes, författaren till Elementen.

Flera anekdoter cirkulerar om Euklides, men eftersom de också förekommer om andra matematiker anses de inte vara verkliga: till exempel den berömda anekdoten, som förklaras av Proclus, enligt vilken Euklides skulle ha svarat Ptolemaios – som ville ha en enklare väg än de som finns i Elementa – att det inte fanns några riktiga vägar inom geometrin; en variant av samma anekdot tillskrivs också Menecmus och Alexander den store. På samma sätt har olika detaljer lagts till i berättelserna om Euklides liv från senantiken, utan nya källor och ofta på ett motsägelsefullt sätt. Vissa författare skriver att Euklid föddes i Tyrus, andra i Gela; olika genealogier, särskilda mästare, olika födelse- och dödsdatum tillskrivs honom, för att respektera genrens regler eller för att gynna vissa tolkningar. Under medeltiden och i början av renässansen förväxlas ofta matematikern Euklides med en av Platons samtida filosofer, Euklides av Megara.

Flera författare nämner verk som tillskrivs Euklides, särskilt Pappus” matematiska samling (vanligen daterad till 300- eller 400-talet) och Proclus” kommentar till Euklides Elementar. Endast en del av dessa verk har överlevt fram till i dag.

Fem verk har kommit till oss: Data, On Divisions, Catoptrics, Appearances of the Sky och Optics. Från arabiska källor tillskrivs Euklid flera avhandlingar om mekanik. Om det tunga och det lätta innehåller nio definitioner och fem påståenden om de aristoteliska föreställningarna om kroppars rörelse och begreppet specifik gravitation. On Equilibrium behandlar hävstångsteorin också på ett axiomatiskt sätt, med en definition, två axiom och fyra satser. Ett tredje fragment, om de cirklar som beskrivs av ändarna på en rörlig spak, innehåller fyra påståenden. Dessa tre verk kompletterar varandra på ett sådant sätt att det har föreslagits att de är rester av en enda avhandling om mekanik skriven av Euklides.

Elementen

Hans Elements är en av världens mest kända vetenskapliga publikationer och var en sammanställning av den kunskap som lärdes ut i den akademiska världen vid den tiden. Elementen var inte, som man ibland tror, ett kompendium av all geometrisk kunskap, utan snarare en introduktionstext som täcker all elementär matematik, dvs. aritmetik, syntetisk geometri och algebra.

Elementen är uppdelade i tretton böcker eller kapitel, varav det första halvdussinet handlar om elementär plan geometri, de tre följande om talteori, bok X om inkommensurabla och de tre sista huvudsakligen om geometri av solider.

I böckerna som ägnas åt geometri presenteras studiet av egenskaperna hos linjer och plan, cirklar och sfärer, trianglar och koner etc., dvs. regelbundna former, på ett formellt sätt, med utgångspunkt i endast fem postulat. Troligen var det inte Euklid som först demonstrerade något av resultaten i Elementarerna, men han är utan tvekan ansvarig för organisationen av materialet och dess presentation. Mycket tyder på att Euklid använde sig av tidigare läroböcker när han skrev Elementen, eftersom han presenterar ett stort antal definitioner som inte används, t.ex. av en avlång, en romb och en rhomboid. Euklids satser är de satser som man i allmänhet lär sig i den moderna skolan. För att nämna några av de mest kända:

Böckerna VII, VIII och IX i Elementen behandlar teorin om delbarhet. Den behandlar sambandet mellan perfekta tal och Mersenneprimer (känt som Euklid-Euler-satsen), primtalens oändlighet (Euklids sats), Euklids lemma om faktorisering (som leder till aritmetikens fundamentala sats om unikheten av faktoriseringar av primtal) och Euklids algoritm för att hitta den största gemensamma divisorn av två tal.

Euklids geometri är inte bara ett kraftfullt verktyg för deduktiva resonemang, utan har också varit mycket användbar inom många kunskapsområden, till exempel inom fysik, astronomi, kemi och olika tekniska områden. Den är verkligen mycket användbar inom matematiken. Under det andra århundradet, inspirerad av harmonin i Euklides framställning, formulerades den ptolemaiska teorin om universum, enligt vilken jorden är universums centrum och planeterna, månen och solen kretsar runt den i perfekta linjer, dvs. cirklar och kombinationer av cirklar. Euklides idéer utgör dock en betydande abstraktion från verkligheten. Han antar till exempel att en punkt inte har någon storlek, att en linje är en uppsättning punkter som varken har bredd eller tjocklek, utan bara längd, att en yta inte har någon tjocklek och så vidare. Eftersom en punkt enligt Euklid inte har någon storlek får den dimensionen noll. En linje har bara längd, så den får en dimension som är lika med ett. En yta har ingen tjocklek och ingen höjd, så den har två dimensioner: bredd och längd. Slutligen har en fast kropp, t.ex. en kub, tre dimensioner: längd, bredd och höjd. Euklid försökte sammanfatta all matematisk kunskap i sin bok Elementarerna. Euklids geometri var ett verk som förblev oförändrat fram till 1800-talet.

Av de inledande axiomen var det bara parallellaxiomet som verkade mindre uppenbart. Olika matematiker försökte utan framgång att avskaffa detta axiom genom att försöka härleda det från resten av axiomen. De försökte presentera den som en sats, men lyckades inte med det.

Slutligen har vissa författare skapat nya geometrier genom att upphäva eller ersätta parallellaxiomet, vilket ger upphov till ”icke-euklidiska geometrier”. Det viktigaste kännetecknet för dessa geometrier är att genom att ändra parallellaxelns axiom blir vinklarna i en triangel inte längre 180 grader.

Uppgifter

Data (Δεδομένα) är det enda andra verk av Euklides som handlar om geometri och som det finns en grekisk version av (det finns till exempel i X-manuskriptet som upptäcktes av Peyrard). Det beskrivs också i detalj i bok VII i Papos matematiska samling, ”Treasury of Analysis”, som är nära besläktad med de fyra första böckerna i Elementa. Det handlar om vilken typ av information som ges i geometriska problem och hur den ser ut. Data placeras inom ramen för den plana geometrin och betraktas av historiker som ett komplement till Elements, i en form som lämpar sig bättre för analys av problem. Verket innehåller 15 definitioner och förklarar vad ett geometriskt objekt innebär, i läge, form och storlek, samt 94 teorem. Dessa förklarar att om vissa delar av en figur är givna, kan andra relationer eller delar bestämmas.

Om avdelningar

Detta verk (det finns delar på latin (De divisionibus), men framför allt finns det ett manuskript på arabiska som upptäcktes på 1800-talet och som innehåller 36 påståenden, varav fyra är bevisade.

Det handlar om att dela upp geometriska figurer i två eller flera lika stora delar eller i delar med givna proportioner. Den liknar ett verk av Heron av Alexandria från 300-talet e.Kr. I detta arbete försöker han konstruera raka linjer som delar upp givna figurer i givna proportioner och former. Till exempel uppmanas man att, med en triangel och en punkt i triangeln, konstruera en linje som går genom punkten och skär triangeln i två figurer med lika stor yta, eller att, med en cirkel, konstruera två parallella linjer så att den del av cirkeln som de avgränsar utgör en tredjedel av cirkelns yta.

Fyra böcker om koniska sektioner

Four Books on Conic Sections (Κωνικῶν Βιβλία) är nu försvunnen. Det var ett arbete om koniska sektioner som Apollonius av Perga utvecklade i en berömd bok om samma ämne. Det är troligt att de fyra första böckerna i Apollonius” verk kom direkt från Euklid. Enligt Papo ”har Apollonius, efter att ha avslutat Euklides fyra böcker om konik och lagt till ytterligare fyra, lämnat åtta volymer av konik”. Apollonius” koniska ritningar ersatte snabbt det ursprungliga verket, och på Papos tid var Euklides verk förlorat.

Tre böcker om porismer

Three books of porisms (Πορισμάτων Βιβλία) kan ha varit en förlängning av hans arbete om koniska sektioner, men titelns innebörd är oklar. Det är ett verk som är förlorat. Verket nämns i två avsnitt av Proklos och framför allt är det föremål för en lång presentation i bok VII i Pappus” samling, ”Treasury of Analysis”, som ett betydelsefullt och långtgående exempel på det analytiska tillvägagångssättet. Ordet porisma har flera användningsområden: enligt Papo skulle det här beteckna ett uttalande av en mellantyp mellan teorem och problem. Euklids verk skulle ha innehållit 171 sådana påståenden och 38 lemmor. Pappos ger exempel, till exempel: ”Om man från två givna punkter drar räta linjer som skär en given rät linje, och om en av dessa linjer skär ett segment på en given rät linje, kommer den andra att göra detsamma på en annan rät linje, med ett fast förhållande mellan de två segmenten som skärs. Att tolka den exakta innebörden av vad som är en porism, och eventuellt återskapa hela eller delar av Euklides verk, utifrån den information som Pappus lämnade, har sysselsatt många matematiker: de mest kända försöken är de som gjordes av Pierre Fermat på 1600-talet, Robert Simson på 1700-talet och framför allt Michel Chasles på 1800-talet. Även om Chasles rekonstruktion inte tas på allvar av dagens historiker, gav den matematikern möjlighet att utveckla begreppet anharmonisk relation.

Två böcker om geometriska platser

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β” handlade om geometriska platser på ytor eller geometriska platser som själva var ytor. I en senare tolkning har man antagit att verket kan ha handlat om kvadratiska ytor. Det är också ett förlorat verk med två böcker som nämns i Pappus” analys. De uppgifter som Proclus eller Pappus ger om dessa platser hos Euklides är tvetydiga och den exakta frågan som ställs i verket är inte känd. I den grekiska matematikens tradition är platser en uppsättning punkter som bekräftar en viss egenskap. Dessa uppsättningar är ofta raka linjer eller koniska sektioner, men de kan också vara t.ex. plana ytor. De flesta historiker uppskattar att Euklides plats kunde vara revolutionsytor, sfärer, koner eller cylindrar.

Himlens utseende

Himlens utseende eller fenomen (

Optik

Optik (Ὀπτικά) är den äldsta bevarade grekiska avhandlingen, i flera versioner, som ägnas åt problem som vi nu skulle säga om perspektiv och som uppenbarligen var avsedd att användas inom astronomin. Den har formen av Elementar: den är en fortsättning på 58 påståenden vars bevis vilar på definitioner och postulat som anges i början av texten. I sina definitioner följer Euklid den platonska traditionen, enligt vilken synen orsakas av strålar som utgår från ögat. Euklid beskriver den skenbara storleken på ett föremål i förhållande till dess avstånd från ögat och undersöker den skenbara formen på cylindrar och koner när de betraktas från olika vinklar.

Euklides visar att den skenbara storleken på lika stora föremål inte är proportionell mot deras avstånd från vårt öga (sats 8). Han förklarar till exempel hur vi ser en sfär (och andra enkla ytor): ögat ser en mindre yta i mitten av sfären, en ännu mindre andel när sfären närmar sig, även om den yta som ses verkar större och om konturerna av den sedda ytan är en cirkel. Avhandlingen motsäger framför allt en åsikt som försvaras av vissa skolor, enligt vilken den verkliga storleken på föremål (i synnerhet himlakroppar) är deras skenbara storlek, den som syns.

Papo ansåg att dessa resultat var viktiga för astronomin och inkluderade Euklids optik, tillsammans med hans fenomen, i ett kompendium av mindre verk som skulle studeras före Claudi Ptolemeus Almagest.

Avhandling om musik

Proclus tillskriver Euklides en avhandling om musik (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), som i likhet med astronomi, teoretisk musik, till exempel i form av en tillämpad teori om proportioner, hör till de matematiska vetenskaperna. Två små skrifter har bevarats på grekiska och har inkluderats i gamla utgåvor av Euklides, men det är osäkert om de kan bedömas, liksom om de har någon koppling till Elementen. De två skrifterna (en del av kanonens avsnitt om musikaliska intervall och en harmonisk introduktion) betraktas däremot som motsägelsefulla, och åtminstone den andra anses numera av forskare vara skriven av en annan författare.

Verk som felaktigt tillskrivs Euklid

Katoptrik (Κατοητρικά) handlar om den matematiska teorin om speglar, särskilt de bilder som bildas i konkava plana och sfäriska speglar. Det är tveksamt om den kan tillskrivas Euklid; författaren kan ha varit Theon av Alexandria. Den förekommer i Euklides text om optik och i Proklos kommentar. Den anses nu vara förlorad, och i synnerhet Catoptricus, som länge publicerades som en fortsättning på Optik i gamla utgåvor, tillskrivs inte längre Euklides; den anses vara en senare sammanställning.

Euklides nämns också som författare till fragment om mekanik, särskilt i texter om hävstången och balansen, i vissa latinska och arabiska manuskript. Tillskrivningen anses nu vara tveksam.

Andra referenser

Källor

  1. Euclides
  2. Euklides