Arquímedes

Alex Rover | agosto 12, 2022

Resumen

Arquímedes de Siracusa (Siracusa, c. 287 a.C. – Siracusa, 212 a.C.) fue un matemático, físico e inventor siceliano.

Considerado uno de los más grandes científicos y matemáticos de la historia, contribuyó al avance del conocimiento en áreas que van desde la geometría a la hidrostática, pasando por la óptica y la mecánica: Fue capaz de calcular la superficie y el volumen de la esfera y formuló las leyes que rigen la flotabilidad de los cuerpos; en el campo de la ingeniería, descubrió y explotó los principios de funcionamiento de las palancas, y su propio nombre está asociado a numerosas máquinas y dispositivos, como el tornillo de Arquímedes, que demuestran su capacidad inventiva; sin embargo, todavía están rodeadas de un halo de misterio las máquinas de guerra que se dice que Arquímedes preparó para defender Siracusa del asedio romano.

Su vida se recuerda a través de numerosas anécdotas, a veces de origen incierto, que han contribuido a construir la figura del científico en el imaginario colectivo. Por ejemplo, la exclamación èureka! (εὕρηκα! – ¡Lo encontré!) que se le atribuye tras el descubrimiento del principio sobre la flotabilidad de los cuerpos que aún lleva su nombre, ha seguido siendo famosa a lo largo de los siglos.

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Elementos históricos

Hay poca información cierta sobre su vida. Todas las fuentes coinciden en que era siracusano y que fue asesinado durante el saqueo romano de Siracusa en el año 212 a.C. También existe la noticia, transmitida por Diodoro Sículo, de que permaneció en Egipto y que fue en Alejandría donde entabló amistad con el matemático y astrónomo Conón de Samos. Lo más probable es que no fuera así: el científico habría querido ponerse en contacto con los eruditos de la época pertenecientes a la escuela de Alejandría, a los que envió muchos de sus escritos. Durante esta hipotética estancia, se dice que Arquímedes inventó el «tornillo hidráulico».

Lo único cierto es que sí estuvo en contacto con Conon (como se deduce del pesar por su muerte expresado en algunas de sus obras), al que pudo conocer en Sicilia. Mantuvo correspondencia con varios científicos de Alejandría, entre ellos Eratóstenes, a quien dedicó su tratado El Método y Dositeo. Un buen ejemplo que ha llegado hasta nosotros sobre la colaboración entre el científico y los alejandrinos es la carta de presentación del tratado Sobre las espirales.

Según Plutarco, estaba emparentado con el monarca Hierón II. La tesis es controvertida pero se apoya en la estrecha amistad y estima que, según otros autores, también les unía. La fecha de nacimiento no es segura. Normalmente se acepta el año 287 a.C., basándose en la información del erudito bizantino Juan Tzetzes de que murió a la edad de setenta y cinco años. No se sabe, sin embargo, si Tzetzes se basó en fuentes fiables ahora perdidas o si sólo intentó cuantificar el hecho, señalado por varios autores, de que Arquímedes era viejo en el momento de su asesinato. La hipótesis de que era hijo de un astrónomo siracusano llamado Fidias (por lo demás, desconocido) se basa en la reconstrucción que hizo el filólogo Friedrich Blass de una frase de Arquímedes del Arenarius, que había llegado corrompida y sin sentido a los manuscritos. Si esta hipótesis es correcta, cabe suponer que heredó de su padre el amor por las ciencias exactas.

Se sabe, por obras y testimonios conservados, que se ocupó de todas las ramas de las ciencias de su tiempo (aritmética, geometría plana y sólida, mecánica, óptica, hidrostática, astronomía, etc.) y de diversas aplicaciones tecnológicas.

Polibio, relata que durante la Segunda Guerra Púnica, a petición de Hierón II, se dedicó (según Plutarco con menos entusiasmo pero según los tres con gran éxito) a la construcción de máquinas de guerra que ayudaran a su ciudad a defenderse del ataque de Roma. Plutarco cuenta que, frente a las legiones y la poderosa flota de Roma, Siracusa sólo contaba con unos pocos miles de hombres y el genio de un anciano; las máquinas de Arquímedes habrían lanzado peñascos ciclópeos y una tormenta de hierro contra los sesenta imponentes quinqueremes de Marco Claudio Marcelo. Fue asesinado en el 212 a.C., durante el saqueo de Siracusa. Según la tradición, el asesino fue un soldado romano que, al no reconocerlo, no cumplió la orden de capturarlo vivo.

Arquímedes era muy apreciado tanto en su país, de hecho era una referencia para el rey Hierón, como en Alejandría, donde mantenía correspondencia con los matemáticos más ilustres de su época, así como entre los romanos, hasta el punto de que, según la leyenda, se ordenó su captura en vida (en lugar de ello fue asesinado). El comandante romano hizo construir una tumba en su honor.

La figura de Arquímedes fascinó a sus contemporáneos hasta el punto de que, con el paso del tiempo, los hechos biográficos se han entrelazado estrechamente con las leyendas y todavía es difícil distinguir los elementos de ficción de la realidad histórica. A la falta de pruebas se suma el hecho de que Arquímedes sólo escribió obras teóricas y especulativas.

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Dos anécdotas famosas

En el imaginario colectivo, Arquímedes está indisolublemente ligado a dos anécdotas. Vitruvio cuenta que se dice que empezó a trabajar en la hidrostática porque el gobernante Hierón II le había pedido que determinara si una corona estaba hecha de oro puro o utilizaba (dentro de la corona) otros metales. Descubriría cómo resolver el problema mientras se bañaba, al notar que al sumergirse en el agua su nivel aumentaba. La observación le habría hecho tan feliz que habría salido de casa desnudo y habría corrido por las calles de Siracusa exclamando »εὕρηκα» (¡eureka!, he encontrado!). Si no conociéramos el tratado Sobre los cuerpos flotantes, no podríamos haber deducido el nivel de la hidrostática arquimediana a partir del relato de Vitruvio.

Vitruvio informa de que el problema se resolvería midiendo los volúmenes de la corona y de un peso igual de oro sumergiéndolos en un recipiente lleno de agua y midiendo el agua rebosante. Sin embargo, este procedimiento es inverosímil, tanto porque implica un error demasiado grande como porque no guarda ninguna relación con la hidrostática desarrollada por Arquímedes. Según una reconstrucción más fiable, atestiguada en la antigüedad tardía, Arquímedes había sugerido pesar la corona y una cantidad igual de oro, ambas sumergidas en agua. Si la corona hubiera sido de oro puro, la balanza habría estado en equilibrio. En cambio, como la balanza se inclinaba del lado del oro, se podía deducir que, al ser los pesos iguales, la corona había sufrido un mayor empuje hidrostático hacia arriba, por lo que debía tener un mayor volumen, lo que implicaba que también debía estar fabricada con otros metales, ya que éstos (como la plata, por ejemplo) tenían una densidad menor que el oro.

Según otra anécdota igualmente famosa, Arquímedes (o Hierón) consiguió mover un barco gracias a una máquina que inventó. Exaltado por su capacidad para construir máquinas que podían mover grandes pesos con pequeñas fuerzas, se dice que exclamó en esta u otra ocasión: «Dadme un punto de apoyo y levantaré la Tierra». La frase es citada, con pequeñas variaciones, por varios autores, entre ellos Pappus de Alejandría

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Leyendas de la muerte

La leyenda también ha transmitido a la posteridad las últimas palabras de Arquímedes, dirigidas al soldado que iba a matarlo: «noli, obsecro, istum disturbare» (no estropees, por favor, este dibujo). tres versiones diferentes de la muerte de Arquímedes.

En el primero afirma que un soldado romano supuestamente ordenó a Arquímedes que le siguiera hasta Marcelo; cuando se negó, el soldado le mató.

En la segunda, un soldado romano se presentó supuestamente para matar a Arquímedes y éste le rogó en vano que le dejara terminar la demostración en la que estaba empeñado.

En la tercera, se dice que unos soldados se encontraron con Arquímedes cuando llevaba a Marcelo unos instrumentos científicos, relojes de sol, esferas y escuadras, en una caja; pensando que la caja contenía oro, se dice que los soldados lo mataron para apoderarse de ella.

Según Tito Livio Marcelo, que habría conocido y apreciado el inmenso valor del genio de Arquímedes y podría haber querido utilizarlo al servicio de la República, se entristeció profundamente por su muerte. Estos autores cuentan que hizo que el científico recibiera un entierro honorable. Sin embargo, este hecho no lo recoge Polibio, que se considera una fuente más autorizada sobre el asedio y el saqueo de Siracusa.

Cicerón cuenta que descubrió la tumba de Arquímedes gracias a una esfera inscrita en un cilindro, que supuestamente fue tallada allí en cumplimiento de los deseos del científico.

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Ordenanza

Arquímedes debe gran parte de su popularidad a su contribución a la defensa de Siracusa contra el asedio romano durante la Segunda Guerra Púnica. Polibio, Livio y Plutarco describen máquinas de guerra de su invención, incluida la manus ferrea, una garra mecánica capaz de volcar naves enemigas, y armas de chorro perfeccionadas por él.

En el siglo II, el escritor Luciano de Samosata relató que durante el asedio de Siracusa (ca. 214-212 a.C.), Arquímedes destruyó los barcos enemigos con fuego. Siglos más tarde, Antemio de Tralles menciona las «lentes con fuego» como armas diseñadas por Arquímedes. El instrumento, llamado «espejos ardientes de Arquímedes», fue diseñado con el propósito de concentrar la luz solar en los barcos que se acercaban, haciendo que se incendiaran.

Esta hipotética arma ha sido debatida en cuanto a su veracidad desde el Renacimiento. René Descartes creía que era falso, mientras que los investigadores modernos han intentado recrear el efecto utilizando los únicos medios de que disponía Arquímedes. Se ha planteado la hipótesis de que una gran cantidad de escudos de bronce o cobre pulidos se utilizaban como espejos para enfocar la luz del sol hacia el barco. Esto habría utilizado el principio de reflexión parabólica de forma similar a un horno solar.

El científico griego Ioannis Sakkas realizó en 1973 un experimento para probar los espejos ardientes de Arquímedes. El experimento tuvo lugar en la base naval de Skaramagas, a las afueras de Atenas. En esta ocasión se utilizaron 70 espejos, cada uno con un revestimiento de cobre y con un tamaño de aproximadamente 1,5 metros. Los espejos apuntaban a una reproducción de madera contrachapada de un barco de guerra romano a una distancia de unos 50 metros. Cuando los espejos enfocaron los rayos del sol con precisión, la nave se incendió en cuestión de segundos. El modelo tenía una capa de pintura de alquitrán que puede haber ayudado a la combustión. Este tipo de revestimiento habría sido común en los barcos de la época.

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Siracusa

Moschion, en una obra de la que Ateneo da cuenta de amplios extractos, describe un inmenso barco encargado por el rey Hierón II y construido por Arquías de Corinto La nave, la más imponente de la antigüedad, se llamaba Siracusia. El nombre se cambió a Alejandría cuando se envió como regalo al rey Ptolomeo III de Egipto junto con un cargamento de grano, para demostrar la riqueza de la ciudad siciliana. Para este barco, Arquímedes adoptó un instrumento, la cóclea, que permitía bombear el agua de las bodegas, manteniéndolas secas.

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Reloj de agua

Un manuscrito árabe contiene la descripción de un ingenioso reloj de agua diseñado por Arquímedes. En el reloj, el flujo de agua saliente se mantuvo constante mediante la introducción de una válvula flotante.

El reloj consistía en dos tanques, uno elevado sobre el otro. La más alta estaba equipada con un grifo que suministraba un flujo constante de agua a la cuenca inferior.

Encima de la pila inferior había un tablón giratorio en el que se enrollaba un hilo, a cuyos extremos se ataba una pequeña piedra y un flotador.

Al comienzo de la jornada, el depósito inferior debía estar vacío y se tiraba de la línea hacia abajo para que el flotador tocara el fondo y la piedra subiera a la parte superior.

Al abrir el grifo, el depósito inferior comenzó a llenarse, elevando el flotador y bajando la piedra. La longitud de la línea y el flujo de agua se calibraron para que fueran las 12 del mediodía cuando el flotador estuviera a la altura de la piedra y las 18 horas cuando la piedra estuviera en el fondo.

Arquímedes se enfrentó al problema de mantener constante el caudal del grifo: de hecho, a medida que se vaciaba la cuenca superior, la presión del agua disminuía y el caudal también. Así que añadió, más arriba que las dos primeras, una tercera pila que, mediante un flotador, llenaba la segunda para mantener constante su nivel y, por tanto, la presión con la que salía el agua del grifo.

Un mérito que también se le reconoce hoy en día a Arquímedes es haber sido el primero en interpretar el tiempo como una magnitud física que puede analizarse con las herramientas matemáticas utilizadas para las magnitudes geométricas (por ejemplo, en su tratado Sobre las espirales representa los intervalos de tiempo con segmentos y les aplica la teoría de las proporciones de Euclides).

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Inventos mecánicos

Ateneo, cuentan que Arquímedes había diseñado una máquina con la que un solo hombre podía mover un barco con tripulación y carga. En Ateneo, el episodio se refiere a la botadura de la Siracusa, mientras que Plutarco habla de un experimento de demostración, realizado para mostrar al soberano las posibilidades de la mecánica. Estos relatos contienen, sin duda, exageraciones, pero el hecho de que Arquímedes haya desarrollado la teoría mecánica que permitía la construcción de máquinas con una gran ventaja mecánica asegura que tenían una base real.

Según Ateneo, había inventado ese mecanismo de bombeo de agua, utilizado para el riego de los campos cultivados, conocido como el tornillo de Arquímedes.

El historiador de la tecnología Andre W. Sleeswyk también atribuyó a Arquímedes el cuentakilómetros descrito por Vitruvio.

El Arquitronito, descrito por Leonardo da Vinci, era un cañón de vapor cuya invención se remonta a Arquímedes de Siracusa hacia el año 200 a.C. Se cree que la máquina se utilizó en el asedio de Siracusa en el año 212 a.C. y en el 49 a.C., como atestigua Julio César durante el asedio de Marsella.

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El planetario

Uno de los logros más admirados de Arquímedes en la antigüedad fue el planetario. La mejor información sobre este artilugio la proporciona Cicerón, quien escribe que en el año 212 a.C., cuando Siracusa fue saqueada por las tropas romanas, el cónsul Marco Claudio Marcelo llevó a Roma un aparato construido por Arquímedes que reproducía la bóveda celeste en una esfera y otro que predecía el movimiento aparente del sol, la luna y los planetas, lo que equivale a una esfera armilar moderna. Cicerón, informando de las impresiones de Cayo Sulpicio Galo, que había podido observar el extraordinario objeto, destaca cómo el genio de Arquímedes había conseguido generar los movimientos de los planetas, tan diferentes entre sí, a partir de una única rotación. Se sabe gracias a Pappus que Arquímedes había descrito la construcción del planetario en su obra perdida Sobre la construcción de las esferas.

El descubrimiento de la máquina de Anticitera, un dispositivo de engranajes que, según algunas investigaciones, se remonta a la segunda mitad del siglo II a.C., que muestra lo elaborados que eran los mecanismos construidos para representar el movimiento de los astros, ha reavivado el interés por el planetario de Arquímedes. Al parecer, en julio de 2006 se encontró en Olbia un engranaje que puede identificarse como perteneciente al planetario de Arquímedes; los estudios sobre el hallazgo se presentaron al público en diciembre de 2008. Según una reconstrucción, el planetario, que se dice que pasó a los descendientes del conquistador de Siracusa, pudo perderse bajo tierra en Olbia (una probable escala en el viaje) antes del naufragio de la nave que llevaba a Marco Claudio Marcelo (cónsul 166 a.C.) a Numidia.

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Medición del diámetro de la pupila

En el Arenarius (Libro I, Cap. 13), después de mencionar un método para medir el ángulo del Sol utilizando una regla graduada sobre la que colocó un pequeño cilindro, Arquímedes señala que el ángulo así formado (vértice en el ojo y líneas tangentes a los bordes del cilindro y del Sol) no expresa una medida correcta porque aún no se conoce el tamaño de la pupila. A continuación, colocó un segundo cilindro de un color diferente y situó el ojo más atrás del extremo de la regla, obteniendo así el diámetro medio de la pupila y, en consecuencia, una estimación más precisa del diámetro del Sol. La aunque breve discusión sobre el tema sugiere que en este asunto Arquímedes, más que referirse a los escritos de Euclides, también tuvo en cuenta los estudios de Erófilo de Calcedonia, que había dedicado varios escritos a la composición del ojo, todos ellos totalmente perdidos y conocidos sólo por las citas que Galeno hace de ellos.

Los logros científicos de Arquímedes pueden exponerse describiendo primero el contenido de las obras conservadas y luego las pruebas de las obras perdidas.

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Obras conservadas

Ya en la Biblia se sugirió que la relación entre el semicírculo y el radio era de aproximadamente 3, y esta aproximación fue aceptada universalmente.

En su breve obra La medida del círculo, Arquímedes demuestra en primer lugar que un círculo es equivalente a un triángulo con una base de longitud igual a la de la circunferencia y una altura de longitud igual a la del radio. Este resultado se obtiene aproximando el círculo, por dentro y por fuera, con polígonos regulares inscritos y circunscritos. Con el mismo procedimiento, Arquímedes expone un método por el que puede aproximar al máximo la relación, que hoy se denota por π, entre la longitud de una circunferencia y el diámetro de un círculo dado. Las estimaciones obtenidas limitan este valor a entre 22

.

En la obra Cuadratura de la Parábola (que Arquímedes dedicó a Dositeo), se calcula el área de un segmento de parábola, figura delimitada por una parábola y una recta secante, no necesariamente ortogonal al eje de la parábola, encontrando que vale 4

Se demuestra que el triángulo máximo inscrito se puede obtener mediante un determinado procedimiento. El segmento de la secante entre los dos puntos de intersección se llama base del segmento de la parábola. Se consideran las líneas paralelas al eje de la parábola que pasan por los extremos de la base. A continuación se traza una tercera línea paralela a las dos primeras y equidistante de ellas.

La intersección de esta última línea con la parábola determina el tercer vértice del triángulo. Al restar el triángulo máximo inscrito al segmento de parábola se obtienen dos nuevos segmentos de parábola en los que se pueden inscribir dos nuevos triángulos. Repitiendo el procedimiento, el segmento de la parábola se llena con un número infinito de triángulos.

El área requerida se obtiene calculando las áreas de los triángulos y sumando los infinitos términos obtenidos. El último paso se reduce a la suma de las series geométricas de la razón 1

Este es el primer ejemplo conocido de la suma de una serie. Al principio de la obra, se introduce lo que ahora se llama el axioma de Arquímedes.

Dado un segmento de parábola delimitado por la secante AC, se inscribe un primer triángulo máximo ABC.

Otros dos triángulos ADB y BEC están inscritos en los 2 segmentos de parábola AB y BC.

Continuamos de la misma manera para los cuatro segmentos de parábola AD, DB, BE y EC, formando los triángulos AFD, DGB, BHE y EIC.

Utilizando las propiedades de la parábola, demuestra que el área del triángulo ABC es 4 veces el área de ADB + BEC y que: A D B + B E C = 4 ( A F D + D G B + B H E + E I C ) {displaystyle ADB+BEC=4(AFD+DGB+BHE+EIC)}

Cada paso añade al área del triángulo 1

Llegados a este punto, basta con demostrar que el polígono así construido se aproxima realmente al segmento de parábola y que la suma de las series de las áreas de los triángulos es igual a 4

Sull»equilibrio dei piani ovvero: sui centri di gravità dei piani, obra en dos libros, es el primer tratado de estática que ha llegado hasta nosotros. Arquímedes enuncia en él un conjunto de postulados en los que basa la nueva ciencia y demuestra la ley de la palanca. Los postulados también definen implícitamente el concepto de centro de gravedad, cuya posición se determina en el caso de diferentes figuras geométricas planas.

En Sobre las espirales, que figura entre sus principales obras, Arquímedes define lo que hoy se denomina espiral de Arquímedes mediante un método cinemático y obtiene dos resultados de gran importancia. En primer lugar, calcula el área de la primera vuelta de la espiral, utilizando un método que anticipa la integración de Riemann. A continuación, consigue calcular la dirección de la tangente en cada punto de la curva, anticipando los métodos que se utilizarán en la geometría diferencial. Definición de Arquímedes de la espiral: una línea con un extremo fijo gira uniformemente; un punto se mueve sobre ella con movimiento uniforme: la curva descrita por este punto será la espiral.

Los principales resultados de Della sfera e del cilindro, una obra en dos libros, son que la superficie de la esfera es cuatro veces el área de su círculo máximo y que el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro circunscrito.

Según una tradición transmitida por Plutarco y Cicerón, Arquímedes estaba tan orgulloso de este último logro que quiso reproducirlo como epitafio en su tumba.

En su obra Sobre conoides y esferoides Arquímedes define los elipsoides, paraboloides e hiperboloides de rotación, considera los segmentos obtenidos al disecar estas figuras con planos y calcula sus volúmenes.

Sobre los cuerpos flotantes es una de las principales obras de Arquímedes, con la que se funda la ciencia de la hidrostática. En el primero de los dos libros de la obra se enuncia un postulado del que se deduce como teorema lo que hoy se denomina impropiamente el principio de Arquímedes. Además de calcular las posiciones de equilibrio estático de los flotadores, se demuestra que, en condiciones de equilibrio, el agua de los océanos adopta una forma esférica. Desde la época de Parménides, los astrónomos griegos sabían que la Tierra tenía una forma esférica, pero aquí se deduce por primera vez a partir de principios físicos.

El segundo libro estudia la estabilidad de equilibrio de los segmentos de paraboloides flotantes. El problema se eligió por el interés de sus aplicaciones a la tecnología naval, pero la solución es también de gran interés matemático. Arquímedes estudia la estabilidad al variar dos parámetros, un parámetro de forma y la densidad, y determina los valores umbral de ambos parámetros que separan las configuraciones estables de las inestables. Para E.J. Dijksterhuis, estos resultados están «definitivamente más allá de los límites de las matemáticas clásicas».

En el Arenarius (véase el enlace inferior para la traducción al italiano), dirigido a Gelón II, Arquímedes se propone determinar el número de granos de arena que podrían llenar la esfera de las estrellas fijas. El problema surge del sistema de numeración griego, que no permite expresar números tan grandes. Aunque la obra es la más sencilla en cuanto a técnicas matemáticas entre los trabajos de Arquímedes, tiene varios motivos de interés. En primer lugar, introduce un nuevo sistema numérico, que prácticamente permite generar números de cualquier tamaño. El mayor número nombrado es el que ahora se escribe 108-1016. El contexto astronómico justifica entonces dos importantes digresiones. El primero relata la teoría heliocéntrica de Aristarco y es la principal fuente sobre el tema; el segundo describe una medición precisa de la magnitud aparente del Sol, proporcionando una rara ilustración del método experimental antiguo. Sin embargo, hay que tener en cuenta que la impugnación de las tesis heliocéntricas de Aristarco es principalmente geométrica, no astronómica, porque incluso suponiendo de hecho que el cosmos es una esfera con la Tierra en su centro, Arquímedes especifica que el centro de la esfera no tiene magnitud y no puede tener ninguna relación con la superficie; Libro I, Cap. 6.

Desde el punto de vista científico, las demostraciones de Arquímedes con palancas son bastante innovadoras. De hecho, el científico siceliano adopta un método rigurosamente deductivo basado en la mecánica del equilibrio de los cuerpos sólidos. Para ello, demuestra sus tesis y conceptos de equilibrio y baricentro mediante la teoría de las proporciones y en términos geométricos. A partir de estos estudios, se postuló la 1ª ley de equilibrio de la palanca:

Partiendo de la idea de una balanza, formada por un segmento y un punto de apoyo, de la que cuelgan dos cuerpos en equilibrio, se puede afirmar que el peso de los dos cuerpos es directamente proporcional al área y al volumen de los mismos. Cuenta la leyenda que Arquímedes dijo: «Dadme una palanca y levantaré el mundo» tras descubrir la segunda ley de las palancas. Mediante el uso de palancas ventajosas, se pueden levantar cargas pesadas con una pequeña fuerza, de acuerdo con la ley:

P : R = b R : b P {displaystyle P:R=b_{R}:b_{P}}

donde P {P} es la potencia y R {a6}*Estilo de visualización R}* la resistencia, mientras que b P {displaystyle b_{P}} e b R {displaystyle b_{R}} son los respectivos brazos de acción.

La obra corta El método sobre los problemas mecánicos, perdida al menos desde la Edad Media, se leyó por primera vez en el famoso palimpsesto encontrado por Heiberg en 1906, luego se volvió a perder, probablemente robada por un monje durante un traslado de manuscritos, y se redescubrió en 1998. Proporciona información sobre los procedimientos utilizados por Arquímedes en sus investigaciones. Dirigiéndose a Eratóstenes, explica que utilizó dos métodos en su trabajo.

Una vez identificado el resultado, para demostrarlo formalmente utilizó lo que posteriormente se llamó el método de agotamiento, del que hay muchos ejemplos en sus otras obras. Sin embargo, este método no proporcionaba una clave para identificar el resultado. Para ello, Arquímedes utilizó un «método mecánico», basado en su estática y en la idea de dividir las figuras en un número infinito de partes infinitesimales. Arquímedes consideraba que este método no era riguroso, pero, en beneficio de otros matemáticos, dio ejemplos de su valor heurístico para hallar áreas y volúmenes; por ejemplo, el método mecánico se utiliza para hallar el área de un segmento de parábola.

El método también tiene connotaciones filosóficas, ya que plantea el problema de considerar la aplicación de las matemáticas a la física como una restricción necesaria. Arquímedes utilizó la intuición para obtener resultados mecánicos inmediatos e innovadores, pero luego se dedicó a demostrarlos rigurosamente desde el punto de vista geométrico.

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Fragmentos y testimonios sobre obras perdidas

El stomachion es un rompecabezas griego similar al tangram, al que Arquímedes dedicó una obra de la que se conservan dos fragmentos, uno en traducción árabe y otro contenido en el Palimpsesto de Arquímedes. Los análisis realizados a principios de la década de 2000 han permitido leer nuevos fragmentos, que aclaran que Arquímedes se propuso determinar de cuántas maneras se podían ensamblar las figuras componentes en la forma de un cuadrado. Es un problema difícil en el que los aspectos combinatorios se entrelazan con los geométricos.

El problema de los bueyes consiste en dos manuscritos que presentan un epigrama en el que Arquímedes desafía a los matemáticos alejandrinos a calcular el número de bueyes y vacas del Armenti del Sole resolviendo un sistema de ocho ecuaciones lineales con dos condiciones cuadráticas. Es un problema diofantino expresado en términos sencillos, pero su solución más pequeña consiste en números con 206 545 dígitos.

La cuestión fue abordada desde un ángulo diferente en 1975 por Keith G. Calkins, retomada posteriormente en 2004 por Umberto Bartocci y Maria Cristina Vipera, dos matemáticos de la Universidad de Perugia. Se plantea la hipótesis de que un «pequeño» error en la traducción del texto del problema hizo «imposible» (algunos afirman que ésa era la intención de Arquímedes) una cuestión que, formulada de forma ligeramente diferente, se habría abordado en cambio con los métodos de las matemáticas de la época.

Según Calogero Savarino, no se trata de un error de traducción del texto, sino de una mala interpretación, o una combinación de ambas.

El Libro de los lemas ha llegado hasta nosotros a través de un texto árabe corrupto. Contiene una serie de lemas geométricos cuyo interés se ve mermado por el desconocimiento actual del contexto en el que fueron utilizados.

Arquímedes había escrito Catoctrica, un tratado, del que tenemos información indirecta, sobre la reflexión de la luz. Apuleyo afirma que era una obra voluminosa que trataba, entre otras cosas, de los aumentos obtenidos con espejos curvos, los espejos ardientes y el arco iris. Según Olimpiodoro el Joven, también se estudió allí el fenómeno de la refracción. Un escolio a la Catóctrica pseudoeuclidiana atribuye a Arquímedes la deducción de las leyes de la reflexión a partir del principio de reversibilidad de la trayectoria óptica; es lógico pensar que esta obra también incluía este resultado.

En una obra perdida, de la que Pappo proporciona información, Arquímedes describió la construcción de trece poliedros semirrígidos, que todavía se denominan poliedros arquimedianos (en la terminología moderna, son quince poliedros arquimedianos porque incluyen también dos poliedros que Arquímedes no había considerado, los impropiamente llamados prisma y antiprisma arquimedianos).

La fórmula de Herón, que expresa el área de un triángulo a partir de los lados, se llama así porque está contenida en la Métrica de Herón de Alejandría, pero según el testimonio de al-Biruni, el verdadero autor es Arquímedes, que la habría expuesto en otra obra perdida. La demostración transmitida por Herón es especialmente interesante porque en ella se eleva al cuadrado, un procedimiento extraño en las matemáticas griegas, ya que la entidad obtenida no es representable en el espacio tridimensional.

Thābit ibn Qurra presenta como Libro de Arquímedes un texto árabe traducido por J. Tropfke. Entre los teoremas contenidos en esta obra aparece la construcción de un heptágono regular, un problema que no se puede resolver con regla y compás.

Un pasaje de Hiparco en el que se citan las determinaciones de Arquímedes sobre los solsticios, transmitidas por Ptolomeo, sugiere que también escribió obras sobre astronomía. Pappus, Herón y Simplicio le atribuyen varios tratados de mecánica y autores árabes transmiten varios títulos de obras de geometría. El libro sobre la construcción de un reloj mecánico de agua, conservado sólo en traducción árabe y atribuido al pseudo-Arquímedes, es en realidad probablemente obra de Filón de Bizancio.

El Palimpsesto de Arquímedes es un códice medieval de pergamino que contiene algunas de las obras del científico siracusano en la escritura subyacente. En 1906, el profesor danés Johan Ludvig Heiberg examinó en Constantinopla 177 hojas de pergamino de piel de cabra que contenían oraciones del siglo XIII (el palimpsesto) y descubrió que había escritos de Arquímedes. Según una práctica muy extendida en la época, debido al elevado coste del pergamino, se raspaban las hojas ya escritas para reescribir en ellas otros textos, reutilizando el soporte. Se conoce el nombre del autor del raspado: Johannes Myronas, que terminó de reescribir las oraciones el 14 de abril de 1229. El palimpsesto pasó cientos de años en la biblioteca de un monasterio de Constantinopla antes de ser robado y vendido a un coleccionista privado en 1920. El 29 de octubre de 1998 fue vendida en subasta por Christie»s en Nueva York a un comprador anónimo por dos millones de dólares.

El códice contiene siete tratados de Arquímedes, entre ellos el único ejemplar que se conserva en griego (bizantino) de Sobre los cuerpos flotantes y el único del Método de los teoremas mecánicos, mencionado en la Suida, que se creía perdido para siempre. También se identificó el Estómago en las páginas, con un análisis más preciso. El palimpsesto se estudió en el Museo de Arte Walters de Baltimore (Maryland), donde se sometió a una serie de pruebas modernas, como el uso de rayos ultravioleta y rayos X para leer el texto subyacente. Al final del trabajo, Reviel Netz, William Noel, Natalie Tchernetska y Nigel Wilson publicaron El palimpsesto de Arquímedes (2011) en dos volúmenes: el primer volumen es predominantemente codicológico, describiendo los manuscritos, su historia, las técnicas utilizadas en su recuperación y la presentación de los textos; el segundo volumen contiene, en páginas contiguas, la página de extensión fotografiada del códice con la transcripción del texto griego y la traducción al inglés. Las páginas del palimpsesto están disponibles en línea como imágenes fotográficas, pero son casi imposibles de leer.

Los tratados de Arquímedes contenidos en el Palimpsesto son: Sobre el equilibrio de los planos, Sobre las espirales, Medición de un círculo, Sobre la esfera y el cilindro, Sobre los cuerpos flotantes, Método de los teoremas mecánicos y Estómago. El Palimpsesto contiene todavía dos oraciones de Hipérides (Contra Dionda y Contra Timandro), un comentario a las Categorías de Aristóteles (probablemente una parte del comentario Ad Gedalium de Porfirio) y, de autores desconocidos, una Vida de San Pantaleón, otros dos textos y un Menaion, un texto de la Iglesia Oriental para las fiestas no pascuales.

De hecho, la convincente historia del palimpsesto es sólo un aspecto de la tradición del corpus de las obras de Arquímedes, es decir, del proceso por el que sus obras han llegado hasta nosotros.

Debemos comenzar observando que ya en la Antigüedad sus textos más avanzados no eran tenidos en alta estima, hasta el punto de que Eutocio (siglo VI d.C.) parece no haber conocido ni la Cuadratura de la Parábola ni las Espirales. En la época de Eutocio, en efecto, sólo parecen haber circulado los dos libros de Sobre la esfera y el cilindro, la Medición del círculo y los dos libros del Equilibrio de los planos. De hecho, los árabes no parecen haber sabido mucho más o diferente que la obra de Arquímedes, hasta el punto de que en la Edad Media latina el único texto arquimediano en circulación serían diversas versiones de la Medida del Círculo traducidas del árabe.

La situación en el mundo griego era diferente: en el siglo IX, al menos tres códices que contenían obras de Arquímedes fueron creados en Constantinopla por León el Matemático: el códice A, el códice ฿ (b «gótico») y el códice C, el que más tarde se convertiría en palimpsesto en el siglo XI. A y ฿ se encontraron en la segunda mitad del siglo XIII en la biblioteca de la corte papal de Viterbo: Guillermo de Moerbeke los utilizó para su traducción de la obra de Arquímedes en 1269. La traducción de Guillermo se conserva hoy en el ms. Ottob. Lat. 1850 en la Biblioteca Vaticana, donde fue descubierto por Valentin Rose en 1882. El códice ฿ (que era el único, además del códice C, que contenía el texto griego de las Flotas) se perdió después de 1311. El Códice A tuvo un destino diferente: en el transcurso del siglo XV, primero llegó a manos del cardenal Bessarione, que mandó hacer una copia, ahora conservada en la Biblioteca Nazionale Marciana de Venecia; luego del humanista Giorgio Valla de Piacenza, que publicó algunos breves fragmentos del comentario de Eutocio en su enciclopedia De expetendis et fugiendis rebus opus, publicada póstumamente en Venecia en 1501. Copiado varias veces más, el Códice A acabó en posesión del cardenal Rodolfo Pío; vendido a su muerte (1564), no se ha vuelto a encontrar.

Sin embargo, las numerosas copias que se conservan de él (y en particular el ms. Laurenziano XXVIII,4, que Poliziano había copiado para Lorenzo de Médicis con absoluta fidelidad al antiguo modelo del siglo IX) han permitido al gran filólogo danés Johan Ludvig Heiberg reconstruir este importante códice perdido (la edición definitiva del corpus de Heiberg data de 1910-15).

La traducción realizada a mediados del siglo XV por Iacopo da San Cassiano merece un análisis aparte. Siguiendo la estela de Heiberg, hasta ahora se creía que Iacopo traducía utilizando el códice A. Estudios más recientes han demostrado, en cambio, que Iacopo utilizó un modelo independiente de A. Su traducción constituye así una cuarta rama de la tradición arquimediana, junto con A, ฿ y el palimpsesto C.

La obra de Arquímedes representa uno de los puntos álgidos del desarrollo de la ciencia en la antigüedad. En ella, la capacidad de identificar conjuntos de postulados útiles para fundar nuevas teorías se combina con la potencia y originalidad de las herramientas matemáticas introducidas, con un mayor interés por los fundamentos de la ciencia y las matemáticas. De hecho, Plutarco relata que el rey Hierón convenció a Arquímedes para que se dedicara a los aspectos más aplicados y construyera máquinas, principalmente de carácter bélico, para ayudar de forma más concreta al desarrollo y la seguridad de la sociedad. Arquímedes se dedicó a las matemáticas, la física y la ingeniería, en una época en la que las divisiones entre estas disciplinas no eran tan claras como ahora, pero en la que, según la filosofía platónica, las matemáticas debían ser abstractas y no aplicadas como en sus inventos. La obra de Arquímedes constituyó así por primera vez una importante aplicación de las leyes de la geometría a la física, en particular a la estática y la hidrostática.

En la antigüedad, Arquímedes y sus inventos fueron descritos con asombro por autores clásicos griegos y latinos como Cicerón, Plutarco y Séneca. Gracias a estos relatos, a finales de la Edad Media y principios de la Edad Moderna, se despertó un gran interés por la investigación y la recuperación de las obras de Arquímedes, que se transmitieron y a veces se perdieron durante la Edad Media por medio de manuscritos. Así, la cultura romana quedó impresionada sobre todo por las máquinas de Arquímedes más que por sus estudios matemáticos y geométricos, hasta el punto de que el historiador de las matemáticas Carl Benjamin Boyer llegó a afirmar con más que picardía que el descubrimiento de la tumba de Arquímedes por parte de Cicerón fue la mayor contribución, quizá la única, realizada a las matemáticas por el mundo romano.

Piero della Francesca, Stevino, Galileo, Kepler y otros, hasta llegar a Newton, estudiaron, retomaron y ampliaron sistemáticamente los estudios científicos de Arquímedes, sobre todo en lo referente al cálculo infinitesimal.

La introducción por parte de Galileo del método científico moderno de estudio y verificación de sus resultados se inspiró en el método con el que Arquímedes persiguió y demostró sus conocimientos. Además, el científico pisano encontró la manera de aplicar métodos geométricos similares a los de Arquímedes para describir el movimiento de caída acelerado de los cuerpos, logrando finalmente superar la descripción de la física de los cuerpos estáticos que sólo había desarrollado el científico de Siracusa. El propio Galileo llamaba a Arquímedes «mi maestro» en sus escritos, tal era la veneración por su obra y su legado.

Así pues, el estudio de las obras de Arquímedes ocupó a los estudiosos de la primera época moderna durante mucho tiempo y fue un importante estímulo para el desarrollo de la ciencia tal y como se entiende hoy en día. La influencia de Arquímedes en siglos posteriores (por ejemplo, en el desarrollo del análisis matemático riguroso) es objeto de valoraciones contradictorias por parte de los estudiosos.

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Arte

En el famoso fresco de Rafael Sanzio, La escuela de Atenas, Arquímedes aparece dibujado con la intención de estudiar geometría. Su imagen es de Donato Bramante.

El poeta alemán Schiller escribió el poema Arquímedes y el joven.

La efigie de Arquímedes también aparece en sellos emitidos por Alemania Oriental (1973), Grecia (1983), Italia (1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982) y España (1963).

El grupo italiano de rock progresivo Premiata Forneria Marconi, dentro del álbum States of Imagination, dedicó el último tema al científico con el título Visions of Archimedes, en el que el vídeo recorre su vida y sus inventos.

Arquímedes es el protagonista de la novela Il matematico che sfidò Roma de Francesco Grasso (Edizioni 0111, Varese, 2014).

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Ciencia

El 14 de marzo se celebra en todo el mundo el Día de Pi, ya que en los países anglosajones corresponde al 3

En la medalla Fields, la más alta distinción para los matemáticos, hay un retrato de Arquímedes en el reverso de la medalla con una frase atribuida a él inscrita: Transire suum pectus mundoque potiri, cuya transliteración podría ser la siguiente: «Elevarse por encima de uno mismo y conquistar el mundo».

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Tecnología

El Archimede solar car 1.0, un coche que funciona con energía solar, fue diseñado y construido en Sicilia.

Se hizo realidad el Proyecto Arquímedes, una planta de energía solar cerca de Priolo Gargallo que utiliza una serie de espejos para producir electricidad.

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Museos y monumentos

En Siracusa se erigió una estatua en honor del científico y el Tecnoparque Arquímedes, un espacio en el que se reproducen los inventos.

Otra estatua de Arquímedes se encuentra en el parque Treptower de Berlín.

En Archea Olympia, en Grecia, hay un museo dedicado a Arquímedes.

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Literatura secundaria

Fuentes

1. Archimede
2. Arquímedes
3. ^ Periochae, 24.3 e 25.10-11.
4. ^ G. Cambiano, Scoperta e dimostrazione in Archimede, in «Figure meccaniche, sogni, saggi sulla scienza antica», Storia e letteratura 232, Roma 2006, pp. 111-130
5. ^ P. Greco, La scienza e l»Europa. Dalle origini al XIII secolo, Roma 2014, p. 62: «Se il più grande geometra dell»antichità e di tutti i tempi è Euclide, il più grande matematico e il primo fisico matematico in assoluto è certo Archimede, che vive e lavora a Siracusa, anche se frequenta Alessandria. Nella città africana studia da giovane, probabilmente con gli allievi di prima generazione di Euclide, forse vi ritorna più volte in età adulta e, in ogni caso, resta in contatto, attraverso una fitta corrispondenza, con la comunità della Biblioteca e in particolare con Eratostene, di cui è amico».
6. ^ In the preface to On Spirals addressed to Dositheus of Pelusium, Archimedes says that «many years have elapsed since Conon»s death.» Conon of Samos lived c. 280–220 BC, suggesting that Archimedes may have been an older man when writing some of his works.
7. Год рождения Архимеда вычисляется на основании труда византийского филолога XII столетия Иоанна Цеца «Хилиады». В нём утверждается, что на момент смерти во время штурма римлянами Сиракуз в 212 году до н. э. Архимеду было 75 лет. Соответственно годом рождения был 287 год до н. э. Так как дата непротиворечива, то она и принята современными учёными[2].
8. En el prefacio de Sobre las espirales, dirigido a Dositeo de Pelusio, Arquímedes dice que «muchos años han pasado desde la muerte de Conon». Conon de Samos vivió c. 280-220 a. C., lo que sugiere que Arquímedes puede haber sido más viejo cuando escribió algunos de sus trabajos.
9. Los tratados de Arquímedes que solo se conocen a través de referencias de otros autores son: Sobre hacer esferas y una obra sobre poliedros mencionada por Papus de Alejandría; Catoptrica, una obra sobre óptica mencionada por Teón de Alejandría; Principios, dirigido a Zeuxippos, que explicaba el sistema numérico usado en El contador de arena; Sobre balanzas y palancas; Sobre los centros de gravedad; Sobre el calendario. De las obras de Arquímedes, Heath, T. L. da la siguiente teoría acerca del orden en que fueron escritas: Sobre el equilibrio de los planos I, La cuadratura de la parábola, Sobre el equilibrio de los planos II, Sobre la esfera y el cilindro I, II, Sobre las espirales, Sobre los conoides y esferoides, Sobre los cuerpos flotantess I, II, Sobre la medida de un círculo, El contador de arena.
10. Boyer, Carl Benjamin A History of Mathematics (1991) ISBN 0-471-54397-7 «Estudiosos árabes nos informan que la familiar fórmula del área de un triángulo en cuanto a las medidas de sus tres lados, usualmente conocida como la fórmula de Herón —k = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), donde s es el semiperímetro— era conocida por Arquímedes varios siglos antes de que Herón naciera. Los estudiosos árabes también atribuyen a Arquímedes el »teorema del acorde roto» … Según los árabes, Arquímedes dio varias pruebas de dicho teorema».