Constantin Carathéodory

Resumo

Constantin Carathéodory (13 de Setembro de 1873 – 2 de Fevereiro de 1950) foi um matemático grego que passou a maior parte da sua carreira profissional na Alemanha. Fez contribuições significativas para a análise real e complexa, o cálculo de variações, e a teoria das medidas. Criou também uma formulação axiomática de termodinâmica. Carathéodory é considerado um dos maiores matemáticos da sua época e o matemático grego mais conhecido desde a antiguidade.

Foi recordado pelos seus colegas como um homem respeitável e culto.

Constantin Carathéodory nasceu em 1873 em Berlim, de pais gregos, e cresceu em Bruxelas. O seu pai Stephanos, advogado, serviu como embaixador otomano na Bélgica, São Petersburgo e Berlim. A sua mãe, Despina, de solteira Petrokokkinos, era da ilha de Chios. A família Carathéodory, originalmente de Bosnochori ou Vyssa, estava bem estabelecida e era respeitada em Constantinopla, e os seus membros ocupavam muitos cargos governamentais importantes.

A família Carathéodory passou 1874-75 em Constantinopla, onde viveu o avô paterno de Constantino, enquanto o seu pai Stephanos estava de licença. Depois, em 1875 foram para Bruxelas quando Stephanos foi nomeado embaixador otomano. Em Bruxelas, nasceu a irmã mais nova de Constantino, Julia. O ano de 1879 foi trágico para a família desde que o avô paterno de Constantino morreu nesse ano, mas muito mais tragicamente, a mãe de Constantino, Despina, morreu de pneumonia em Cannes. A avó materna de Constantin assumiu a tarefa de educar Constantin e Julia na casa do seu pai, na Bélgica. Empregaram uma criada alemã que ensinou as crianças a falar alemão. Constantin já era bilingue em francês e grego nessa altura.

Constantin iniciou a sua escolaridade formal numa escola privada em Vanderstock em 1881. Partiu após dois anos e depois passou tempo com o seu pai numa visita a Berlim, e também passou os Invernos de 1883-84 e 1884-85 na Riviera italiana. De regresso a Bruxelas em 1885, frequentou uma escola secundária durante um ano, onde começou a interessar-se pela matemática. Em 1886, entrou na escola secundária Athénée Royal d”Ixelles e aí estudou até à sua graduação em 1891. Duas vezes durante o seu tempo nesta escola Constantin ganhou um prémio como o melhor estudante de matemática na Bélgica.

Nesta fase, Carathéodory começou a treinar como engenheiro militar. Frequentou a École Militaire de Belgique de Outubro de 1891 a Maio de 1895 e estudou também na École d”Application de 1893 a 1896. Em 1897, eclodiu uma guerra entre o Império Otomano e a Grécia. Isto colocou Carathéodory numa posição difícil desde que tomou o partido dos gregos, mas o seu pai serviu o governo do Império Otomano. Como era um engenheiro formado, foi-lhe oferecido um emprego no serviço colonial britânico. Este trabalho levou-o ao Egipto, onde trabalhou na construção da barragem de Assiut até Abril de 1900. Durante períodos em que os trabalhos de construção tiveram de parar devido a inundações, estudou matemática de alguns livros que tinha consigo, tais como o Cours d”Analyse da Jordânia e o texto de Salmon sobre a geometria analítica das secções cónicas. Também visitou a pirâmide de Cheops e fez medições que escreveu e publicou em 1901. Também publicou um livro sobre o Egipto no mesmo ano, que continha uma riqueza de informações sobre a história e a geografia do país.

Carathéodory estudou engenharia na Bélgica na Royal Military Academy, onde foi considerado um estudante carismático e brilhante.

Estudantes de doutoramento

Carathéodory tinha cerca de 20 doutorandos entre estes sendo Hans Rademacher, conhecido pelo seu trabalho de análise e teoria dos números, e Paul Finsler conhecido pela sua criação do espaço Finsler.

Contactos académicos na Alemanha

Os contactos de Carathéodory na Alemanha eram muitos e incluíam nomes tão famosos como: Hermann Minkowski, David Hilbert, Felix Klein, Albert Einstein, Edmund Landau, Hermann Amandus Schwarz, Lipót Fejér. Durante o difícil período da Segunda Guerra Mundial, os seus colaboradores mais próximos na Academia de Ciências da Baviera foram Perron e Tietze.

Einstein, então membro da Academia de Ciências Prussiana em Berlim, estava a trabalhar na sua teoria geral da relatividade quando contactou Carathéodory pedindo esclarecimentos sobre a equação Hamilton-Jacobi e as transformações canónicas. Ele queria ver uma derivação satisfatória da primeira e as origens da segunda. Einstein disse a Carathéodory que a sua derivação era “bela” e recomendou a sua publicação no Annalen der Physik. Einstein empregou a primeira num artigo de 1917 intitulado Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein (Sobre o Teorema Quântico de Sommerfeld e Epstein). Carathéodory explicou alguns detalhes fundamentais das transformações canónicas e remeteu Einstein para E.T. Whittaker”s Analytical Dynamics. Einstein estava a tentar resolver o problema das “linhas temporais fechadas” ou a geodésia correspondente à trajectória fechada da luz e das partículas livres num universo estático, que ele introduziu em 1917.

Landau e Schwarz estimularam o seu interesse no estudo de análises complexas.

Contactos académicos na Grécia

Enquanto na Alemanha, o Carathéodory manteve numerosas ligações com o mundo académico grego sobre as quais se pode encontrar informação detalhada no livro de Georgiadou. Esteve directamente envolvido com a reorganização das universidades gregas. Um amigo e colega especialmente próximo em Atenas foi Nicolaos Kritikos que tinha assistido às suas palestras em Göttingen, indo mais tarde com ele para Smyrna, tornando-se depois professor no Politécnico de Atenas. Kritikos e Carathéodory ajudaram o topólogo grego Christos Papakyriakopoulos a fazer o doutoramento em topologia na Universidade de Atenas em 1943 em circunstâncias muito difíceis. Enquanto ensinava na Universidade de Atenas, Carathéodory teve como aluno de graduação Evangelos Stamatis, que posteriormente alcançou uma distinção considerável como estudioso de clássicos da matemática grega antiga.

Cálculo das variações

Na sua dissertação de doutoramento, Carathéodory mostrou como estender as soluções a casos descontínuos e estudou problemas isoperimétricos.

Anteriormente, entre meados do século XVII e meados do século XVIII, Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre, e Carl Gustav Jacob Jacobi foram capazes de estabelecer condições necessárias mas insuficientes para a existência de um mínimo relativo forte. Em 1879, Karl Weierstrass acrescentou um quarto que garante de facto a existência de tal quantidade. Carathéodory construiu o seu método para obter condições suficientes com base na utilização da equação de Hamilton-Jacobi para construir um campo de extremos. As ideias estão intimamente relacionadas com a propagação da luz na óptica. O método ficou conhecido como o método de Carathéodory de problemas variacionais equivalentes ou o caminho real para o cálculo de variações. Uma vantagem chave do trabalho de Carathéodory sobre este tema é que ilumina a relação entre o cálculo das variações e as equações diferenciais parciais. Permite derivações rápidas e elegantes das condições de suficiência no cálculo das variações e conduz directamente à equação de Euler-Lagrange e à condição de Weierstrass. Ele publicou as suas Variationsrechnung und Partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung (Cálculo de Variações e Equações Diferenciais Parciais de Primeira Ordem) em 1935.

Mais recentemente, o trabalho de Carathéodory sobre o cálculo das variações e a equação Hamilton-Jacobi foi levado à teoria do controlo óptimo e da programação dinâmica. O método também pode ser alargado a múltiplos integrais.

Geometria convexa

O teorema de Carathéodory em geometria convexa afirma que se um ponto x {estilo de jogo x} de R d {estilo de jogo de jogo de matemática encontra-se no casco convexo de um conjunto P {P estilo de jogo} então x {estilo de jogo x} pode ser escrita como a combinação convexa de, no máximo d + 1 {estilo de jogo d+1} pontos em P {P estilo de jogo} . Nomeadamente, existe um subconjunto P ′ {P”|displaystyle P”} de P {P estilo de jogo} que consiste em d + 1 {estilo de jogo d+1} ou menos pontos tais que x {estilo de jogo x} encontra-se no casco convexo de P ′ {P”|displaystyle P”} . De forma equivalente, x {estilo de jogo x} reside num r {r estilo de jogo} -simplexo com vértices em P {P estilo de jogo} onde r ≤ d {rleq d}displaystyle . O mais pequeno r {r estilo de jogo} que torna a última declaração válida para cada x {estilo de jogo x} no casco convexo de P é definido como o número de P {P estilo de jogo} . Dependendo das propriedades de P {P estilo de jogo} podem ser obtidos limites superiores mais baixos do que o fornecido pelo teorema de Carathéodory.

É-lhe creditada a autoria da conjectura Carathéodory, afirmando que uma superfície convexa fechada admite pelo menos dois pontos umbilicais. A partir de 2021, esta conjectura permaneceu por provar, apesar de ter atraído uma grande quantidade de investigação.

Análise real

Ele provou um teorema de existência para a solução de equações diferenciais comuns em condições de ligeira regularidade.

Outro teorema seu sobre a derivada de uma função num determinado ponto poderia ser usado para provar a Regra da Cadeia e a fórmula para a derivada de funções inversas.

Análise complexa

Ele alargou grandemente a teoria da transformação conformal provando o seu teorema sobre a extensão da cartografia conformal até à fronteira dos domínios da Jordânia. Ao estudar a correspondência de fronteira, originou a teoria dos fins primordiais. Expôs uma prova elementar do lema Schwarz.

Carathéodory estava também interessado na teoria das funções de múltiplas variáveis complexas. Nas suas investigações sobre este assunto, procurou análogos de resultados clássicos a partir do caso de uma única variável. Ele provou que uma bola em C 2 {estilo de jogo de satélite ^{2}} não é holomorficamente equivalente ao bidisc.

Teoria da medida

É-lhe creditado o teorema da extensão Carathéodory que é fundamental para a teoria moderna da medida. Mais tarde Carathéodory estendeu a teoria de conjuntos a álgebras booleanas.

Termodinâmica

A termodinâmica tinha sido um tema caro a Carathéodory desde o seu tempo na Bélgica. Em 1909, publicou um trabalho pioneiro “Investigações sobre os fundamentos da Termodinâmica” no qual formulou axiomaticamente a segunda lei da termodinâmica, ou seja, sem o uso de motores e frigoríficos Carnot e apenas por raciocínio matemático. Esta é mais uma versão da segunda lei, juntamente com as declarações de Clausius, e de Kelvin e Planck. A versão de Carathéodory atraiu a atenção de alguns dos melhores físicos da época, incluindo Max Planck, Max Born, e Arnold Sommerfeld. De acordo com o levantamento da termodinâmica de Bailyn, a abordagem de Carathéodory é chamada “mecânica”, em vez de “termodinâmica”. Max Born aclamou este “primeiro fundamento axiomaticamente rígido da termodinâmica” e expressou o seu entusiasmo nas suas cartas a Einstein. No entanto, Max Planck tinha algumas dúvidas de que, embora tenha ficado impressionado com a proeza matemática de Carathéodory, não aceitou que esta fosse uma formulação fundamental, dada a natureza estatística da segunda lei.

Na sua teoria simplificou os conceitos básicos, por exemplo, o calor não é um conceito essencial mas sim um conceito derivado. Ele formulou o princípio axiomático da irreversibilidade na termodinâmica afirmando que a inacessibilidade dos estados está relacionada com a existência de entropia, onde a temperatura é a função de integração. A Segunda Lei da Termodinâmica foi expressa através do seguinte axioma: “Na vizinhança de qualquer estado inicial, há estados que não podem ser aproximados arbitrariamente através de mudanças adiabáticas de estado”. Nesta ligação cunhou o termo acessibilidade adiabática.

Óptica

O trabalho de Carathéodory na óptica está intimamente relacionado com o seu método no cálculo de variações. Em 1926, deu uma prova rigorosa e geral de que nenhum sistema de lentes e espelhos pode evitar aberrações, excepto no caso trivial dos espelhos planos. No seu trabalho posterior, deu a teoria do telescópio Schmidt. No seu Geometrische Optik (1937), Carathéodory demonstrou a equivalência do princípio de Huygens e do princípio de Fermat a partir do primeiro, utilizando a teoria das características de Cauchy. Argumentou que uma vantagem importante da sua abordagem era que ela abrange as invariantes integrais de Henri Poincaré e Élie Cartan e completa a lei Malus. Explicou que nas suas investigações em óptica, Pierre de Fermat concebeu um princípio mínimo semelhante ao enunciado por Hero de Alexandria para estudar a reflexão.

Histórico

Durante a Segunda Guerra Mundial, o Carathéodory editou dois volumes de Obras Completas de Euler que tratavam do Cálculo de Variações, que foram submetidos para publicação em 1946.

Na altura, Atenas era o único grande centro educacional na área mais vasta e tinha uma capacidade limitada para satisfazer suficientemente a crescente necessidade educacional da parte oriental do Mar Egeu e dos Balcãs. Constantin Carathéodory, que na altura era professor na Universidade de Berlim, propôs a criação de uma nova Universidade – as dificuldades relativas à criação de uma universidade grega em Constantinopla levaram-no a considerar três outras cidades: Tessalónica, Chios e Esmirna.

A convite do Primeiro Ministro grego Eleftherios Venizelos, apresentou a 20 de Outubro de 1919 um plano para a criação de uma nova Universidade em Esmirna, na Ásia Menor, a ser denominada Universidade Jónica de Esmirna. Em 1920 Carathéodory foi nomeado Reitor da Universidade e desempenhou um papel importante na criação da instituição, viajando pela Europa para comprar livros e equipamento. A universidade, contudo, nunca admitiu estudantes devido à Guerra na Ásia Menor que terminou no Grande Incêndio de Esmirna. Carathéodory conseguiu salvar livros da biblioteca e só foi resgatado no último momento por um jornalista que o levou de barco a remos para o navio de guerra Naxos que estava a postos. Carathéodory trouxe para Atenas parte da biblioteca da universidade e permaneceu em Atenas, ensinando na universidade e na escola técnica até 1924.

Em 1924 Carathéodory foi nomeado professor de Matemática na Universidade de Munique, e ocupou este cargo até à reforma em 1938. Mais tarde, trabalhou na Academia de Ciências da Baviera até à sua morte, em 1950.

A nova Universidade Grega na área mais vasta da região do sudeste do Mediterrâneo, tal como inicialmente previsto por Carathéodory, materializou-se finalmente com a criação da Universidade Aristóteles de Salónica em 1925.

Carathéodory distinguia-se nas línguas, tal como muitos membros da sua família. O grego e o francês foram as suas primeiras línguas, e ele dominou o alemão com tal perfeição, que os seus escritos compostos na língua alemã são obras-primas estilísticas. Carathéodory também falava e escrevia inglês, italiano, turco, e as línguas antigas sem qualquer esforço. Um arsenal linguístico tão impressionante permitiu-lhe comunicar e trocar ideias directamente com outros matemáticos durante as suas numerosas viagens, e alargou grandemente os seus campos de conhecimento.

Muito mais do que isso, Carathéodory foi um precioso parceiro de conversação para os seus colegas professores do Departamento de Filosofia de Munique. O respeitado filólogo alemão e professor de línguas antigas, Kurt von Fritz, elogiou Carathéodory pelo facto de dele se poder aprender uma quantidade infinita sobre a antiga e a nova Grécia, a antiga língua grega, e a matemática helénica. Von Fritz conduziu numerosas discussões filosóficas com o Carathéodory.

O matemático enviou o seu filho Stephanos e a filha Despina para uma escola secundária alemã, mas eles também obtiveram diariamente instrução adicional em língua e cultura gregas de um padre grego, e em casa ele permitiu-lhes que falassem apenas grego.

Carathéodory era um orador público talentoso, e era frequentemente convidado a proferir discursos. Em 1936, foi ele quem entregou as primeiras medalhas Fields na reunião do Congresso Internacional de Matemáticos em Oslo, Noruega.

Em 2002, em reconhecimento das suas realizações, a Universidade de Munique nomeou uma das maiores salas de conferências do instituto matemático a Sala de Conferências Constantin-Carathéodory.

Na cidade de Nea Vyssa, a casa ancestral de Caratheodory, encontra-se um museu familiar único. O museu está localizado na praça central da cidade, perto da sua igreja, e inclui uma série de artigos pessoais de Karatheodory, bem como cartas que trocou com Albert Einstein. Mais informações são fornecidas no website original do clube, http:

Ao mesmo tempo, há muito que as autoridades gregas tinham a intenção de criar um museu em homenagem a Karatheodoris em Komotini, uma grande cidade da região nordeste da Grécia, a mais de 200 km de distância da sua cidade natal acima. A 21 de Março de 2009, o Museu “Karatheodoris” (Καραθεοδωρής) abriu os seus portões ao público em Komotini.

O coordenador do Museu, Athanasios Lipordezis (Αθανάσιος Λιπορδέζης), notou que o museu fornece uma casa para manuscritos originais do matemático que corre para cerca de 10.000 páginas, incluindo correspondência com o matemático alemão Arthur Rosenthal para a algebraização da medida. Na exposição, os visitantes podem também ver os livros “Gesammelte mathematische Schriften Band 1,2,3,4”, “Mass und ihre Algebraiserung”, “Reelle Functionen Band 1”, “Zahlen

Os esforços para equipar o museu com mais exposições estão em curso.

Artigos de periódicos

Uma lista completa das publicações de artigos da revista Carathéodory pode ser encontrada nas suas Collected Works(Ges. Math. Schr.). Publicações notáveis são:

Enciclopédias e obras de referência

Conferências

Fontes

  1. Constantin Carathéodory
  2. Constantin Carathéodory
  3. ^ “The Mathematics Genealogy Project – Constantin Carathéodory”. Mathematics Genealogy Project. North Dakota State University Department of Mathematics. Archived from the original on 13 July 2018. Retrieved 27 August 2017.
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  14. Grab von Carathéodory auf dem Münchner Waldfriedhof (Grabfeld 303, Lage48.1052211.49014, Bilder)
  15. Ver Carathéodory”s theorem
  16. «Constantin Carathéodory-Hörsaal» (PDF). Consultado em 25 de junho de 2009. Arquivado do original (PDF) em 29 de setembro de 2007
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