Leonhard Euler

Sammanfattning

Leonhard Euler (15 april 1707, Basel, Schweiz – 7 (18) september 1783, S:t Petersburg, Ryska riket) var en schweizisk, preussisk och rysk matematiker och mekaniker som gjorde grundläggande bidrag till utvecklingen av dessa vetenskaper (liksom fysik, astronomi och flera tillämpade vetenskaper). Tillsammans med Lagrange var han 1700-talets största matematiker och anses vara en av historiens största matematiker. Euler skrev över 850 verk (inklusive två dussin grundläggande monografier) om matematisk analys, differentialgeometri, talteori, approximativ kalkyl, himmelsmekanik, matematisk fysik, optik, ballistik, skeppsbyggnad, musikteori och andra områden. Han studerade medicin, kemi, botanik, flygteknik, musikteori och många europeiska och antika språk. Akademiker vid vetenskapsakademierna i Sankt Petersburg, Berlin, Turin, Lissabon och Basel, utländsk ledamot av vetenskapsakademin i Paris. Den första ryska medlemmen i American Academy of Arts and Sciences.

Han tillbringade nästan halva sitt liv i Ryssland, där han bidrog på ett betydande sätt till utvecklingen av den ryska vetenskapen. År 1726 blev han inbjuden att arbeta i S:t Petersburg, dit han flyttade ett år senare. Från 1726 till 1741 och från 1766 var han akademiker vid vetenskapsakademin i S:t Petersburg (från 1741 till 1766 arbetade han i Berlin (samtidigt var han hedersmedlem i S:t Petersburgs akademi). Efter ett år i Ryssland hade han goda kunskaper i ryska och en del av hans verk (särskilt läroböcker) publicerades på ryska. De första ryska akademikerna – matematiker (S. K. Kotelnikov) och astronomer (S. Ya. Rumovsky) – var Eulers elever.

Schweiz (1707-1727)

Leonhard Euler föddes 1707 i familjen till pastorn Paul Euler från Basel, en vän till familjen Bernoulli, och Marguerite Euler, född Brooker. Strax efter hans födelse flyttade familjen till Richeng, där pojken tillbringade sina första år. Leonard fick sin grundutbildning hemma under sin fars ledning (denne hade studerat matematik för Jakob Bernoulli). Pastorn förberedde sin äldsta son för en andlig karriär, men han lärde honom också matematik, både för skojs skull och för att utveckla hans logiska tänkande, och Leonard visade tidigt talang för matematik.

När Leonard växte upp togs han till sin mormor i Basel, där han gick på gymnasiet (samtidigt som han fortsatte att studera matematik med passion). År 1720 fick han tillåtelse att delta i offentliga föreläsningar vid universitetet i Basel, där professor Johann Bernoulli (yngre bror till Jakob Bernoulli) uppmärksammade honom. Den berömde vetenskapsmannen skickade matematiska artiklar till den unge matematikern för studier och lät honom komma hem till honom på lördagseftermiddagar för att klargöra svåra frågor.

Den 20 oktober 1720 blev den 13-årige Leonhard Euler student vid den konstnärliga fakulteten vid universitetet i Basel. Men hans kärlek till matematik ledde Leonard in på en annan väg. När Euler besökte sin lärares hem träffade han hans söner Daniel och Nicholas och blev vän med dem, som också, i enlighet med familjetraditionen, studerade matematik på djupet. År 1723 fick Euler sitt första pris (primam lauream) (vilket var brukligt vid universitetet i Basel). Den 8 juli 1724 höll den 17-årige Leonhard Euler ett tal på latin där han jämförde Descartes och Newtons filosofiska åsikter och fick en magisterexamen.

Under de följande två åren skrev den unge Euler flera vetenskapliga artiklar. En av dem, ”Dissertation on Physics of Sound”, lämnades in i en tävling för att besätta den oväntat lediga professuren i fysik vid universitetet i Basel (1725). Men trots det positiva omdömet ansågs den 19-årige Euler vara för ung för att kunna bli en kandidat till professuren. På den tiden var antalet lediga vetenskapliga tjänster i Schweiz mycket litet. Bröderna Daniel och Nikolai Bernoulli åkte därför till Ryssland, där vetenskapsakademin höll på att byggas upp, och lovade att ansöka om en tjänst för Euler.

I början av vintern 1726-1727 fick Euler nyheter från Sankt Petersburg: på rekommendation av bröderna Bernoulli blev han inbjuden till posten som docent vid fysiologiska institutionen (denna institution var ockuperad av D. Bernoulli) med en årslön på 200 rubel (Euler behöll ett brev till akademins ordförande L.L. Blumentrost daterat den 9 november 1726, där han tackade honom för att han blivit antagen i akademin). Eftersom Johann Bernoulli var en berömd läkare ansågs Leonhard Euler, som var hans bästa elev, också vara läkare i Ryssland. Euler sköt dock upp sin avresa från Basel till våren och ägnade de återstående månaderna åt seriösa studier av de medicinska vetenskaperna, vars djupa kunskaper han senare skulle imponera på sin samtid. Slutligen, den 5 april 1727, lämnade Euler Schweiz för gott, även om han behöll sitt schweiziska (Basel) medborgarskap resten av sitt liv.

Ryssland (1727-1741)

Den 22 januari (2 februari) 1724 godkände Peter I projektet för Petersburgs akademi. Den 28 januari (8 februari) 1724 utfärdade senaten ett dekret om inrättandet av akademin. Av de 22 professorer och biträdande professorer som bjöds in under de första åren fanns 8 matematiker som också sysslade med mekanik, fysik, astronomi, kartografi, teori om skeppsbyggnad, mått och vikt.

Euler (vars väg från Basel gick via Lübeck, Revel och Kronstadt) anlände till S:t Petersburg den 24 maj 1727, några dagar innan kejsarinnan Katarina I, akademiens beskyddare, avled och de lärda var nedstämda och förvirrade. Euler fick hjälp att vänja sig vid sin nya plats av andra Baselbor: akademikerna Daniil Bernoulli och Jakob Hermann; den senare, som var professor vid professuren för högre matematik, var en avlägsen släkting till den unge vetenskapsmannen och erbjöd honom alla typer av beskydd. Euler blev docent i högre matematik (och inte i fysiologi som ursprungligen var planerat), även om han forskade inom strömningsdynamik i S:t Petersburg, fick en lön på 300 rubel per år och fick en lägenhet.

Euler talade flytande ryska inom några månader efter sin ankomst till S:t Petersburg.

År 1728 började den första ryska vetenskapliga tidskriften, Commentaries of the St Petersburg Academy of Sciences (på latin), att publiceras. Redan den andra volymen innehöll tre artiklar av Euler, och under de följande åren innehöll nästan varje nummer av den akademiska årsboken flera av hans nya verk. Totalt publicerades mer än 400 artiklar av Euler i denna utgåva.

I september 1730 upphörde kontraktet med akademikerna J. Herman (professur i matematik) och H. B. Bilfinger (professur i experimentell och teoretisk fysik). Hermann (ordförande i matematik) och G. B. Bilfinger (ordförande i experimentell och teoretisk fysik). Daniil Bernoulli och Leonard Ayler godkändes för deras vakanser, den senare fick 400 rubel i lön, och den 22 januari 1731 blev han officiellt professor. Efter ytterligare två år (1733) återvände Daniel Bernoulli till Schweiz, och Euler, som lämnade professuren i fysik, tog hans plats och blev akademiker och professor i högre matematik med en lön på 600 rubel (Daniel Bernoulli fick dock dubbelt så mycket).

Den 27 december 1733 gifte sig den 26-årige Leonhard Euler med sin jämnåriga Katharina (tyska: Katharina Gsell), dotter till den akademiska målaren Georg Gsell (schweizare från S:t Petersburg). Paret köpte ett hus på Neva-dammen, där de bosatte sig. Familjen Euler hade 13 barn, men tre söner och två döttrar överlevde.

Den unge professorn hade mycket att göra: kartografi, alla slags undersökningar, konsultationer för skeppsbyggare och artillerister, utarbetande av utbildningsmanualer, konstruktion av brandpumpar osv. Han var till och med skyldig att sammanställa horoskop, vilket Euler med all önskvärd takt hänvisade till en av sina anställda astronomer. Alexander Pusjkin citerar en romantisk historia: Euler ska ha komponerat ett horoskop för en nyfödd prins John Antonovich (1740), men resultatet skrämde honom så mycket att han inte visade det för någon, och först efter den stackars prinsens död berättade han om det för greve K.G. Razumovsky. Äktheten i denna historiska anekdot är mycket tveksam.

Under sin första tid i Ryssland skrev han mer än 90 viktiga vetenskapliga artiklar. En stor del av de akademiska ”Notes” är fyllda med Eulers skrifter. Han höll föredrag vid vetenskapliga seminarier, höll offentliga föreläsningar och deltog i olika tekniska beställningar från statliga myndigheter. Under 1730-talet ledde Euler arbetet med att kartlägga det ryska imperiet, vilket (efter Eulers avresa 1745) avslutades med publiceringen av landets atlas. Som N. I. Fuss rapporterade fick akademin 1735 i uppgift att utföra en brådskande och mycket besvärlig matematisk beräkning, och en grupp akademiker bad om tre månader, men Euler tog sig an arbetet i tre dagar – och lyckades göra det själv; men överansträngningen gick inte spårlöst över: han blev sjuk och förlorade synen på höger öga. Euler själv tillskrev dock i ett av sina brev förlusten av sitt öga till sitt arbete som kartmakare vid den geografiska avdelningen vid akademin.

Det tvåvolymiga verket Mekanik, eller vetenskapen om rörelse i analytisk form, som publicerades 1736, gjorde Euler allmänt känd i Europa. I denna monografi tillämpade Euler framgångsrikt metoder för matematisk analys på den allmänna lösningen av problem med rörelse i ett tomrum och i ett motståndskraftigt medium.

En av akademins viktigaste uppgifter var att utbilda hushållspersonal, och för detta ändamål inrättades ett universitet och ett gymnasium under akademin. På grund av den akuta bristen på läroböcker på ryska bad akademin sina medlemmar att sammanställa sådana manualer. Euler sammanställde en mycket bra ”Handbok i aritmetik” på tyska, som omedelbart översattes till ryska och under flera år fungerade som en primär lärobok. Översättningen av den första delen gjordes 1740 av Vasily Adodurov, den första ryska adjungerade akademin och Eulers elev.

Situationen förvärrades när kejsarinnan Anna Ioannovna dog 1740 och den unge Johannes VI förklarades kejsare. ”Något farligt höll på att hända”, skrev Euler senare i sin självbiografi.  – Efter den ärade kejsarinnan Annas död under den efterföljande regeringstiden … började situationen att framstå som osäker. Under Anna Leopoldovnas regeringstid förföll S:t Petersburg-akademin slutligen. Euler började fundera på om han skulle återvända hem eller flytta till ett annat land. Till slut accepterade han ett erbjudande från den preussiske kungen Friedrich, som bjöd in honom på mycket gynnsamma villkor till Berlin-akademin som direktör för dess matematiska avdelning. Akademin baserades på det preussiska kungliga sällskapet, som Leibniz hade grundat, men som vid den tiden befann sig i ett dåligt skick.

Preussen (1741-1766)

Euler lämnade in sin avskedsansökan till ledningen för St Petersburg Academy:

Därför är jag tvungen, både av hälsoskäl och på grund av andra omständigheter, att söka mig till ett behagligare klimat och att acceptera hans kungliga preussiska majestäts kallelse till mig. Därför ber jag den kejserliga vetenskapsakademin att vänligen avskeda mig och ge mig och min familj det pass som behövs för min resa.

Den 29 maj 1741 fick han Akademins tillstånd. Euler ”frigjordes” och godkändes som hedersledamot av akademin med en lön på 200 rubel. I juni 1741 anlände den 34-årige Leonhard Euler med sin fru, två söner och fyra brorsbarn till Berlin. Han tillbringade 25 år där och publicerade omkring 260 verk.

Till en början fick Euler ett vänligt mottagande i Berlin, han bjöds till och med in till hovbaler. Markis Condorcet minns att Euler, strax efter att han flyttat till Berlin, blev inbjuden till en hovbal. När drottningmodern frågade Euler varför han var så tystlåten svarade han: ”Jag kommer från ett land där den som talar hängs.

Euler hade mycket arbete att göra. Förutom matematisk forskning ledde han ett observatorium och var inblandad i många praktiska frågor, bland annat produktion av kalendrar (akademins viktigaste inkomstkälla), prägling av preussiska mynt, anläggande av en ny vattenledning och organisation av pensioner och lotterier.

År 1742 publicerades en samling av Johann Bernoullis verk i fyra volymer. När han skickade den från Basel till Euler i Berlin skrev den gamle vetenskapsmannen till sin elev: ”Jag har ägnat mig åt den högre matematikens barndom. Du, min vän, kommer att fortsätta att forma den i mognad.” Under Berlinperioden kom Eulers verk ut ett efter ett: ”Introduktion till analysen av oändliga tal” (1748), ”Havsvetenskap” (1749), ”Teori om månens rörelse” (1753), ”Instruktion i differentialräkning” (lat. Institutiones calculi differentialis, 1755). Många artiklar om utvalda frågor trycktes i publikationer från akademierna i Berlin och S:t Petersburg. År 1744 upptäckte Euler variationskalkylen. I sina arbeten använder han en komplicerad terminologi och matematiska symboler som till stor del har bevarats fram till idag, och han för sina framställningar till nivån för praktiska algoritmer.

Under alla sina år i Tyskland höll Euler kontakt med Ryssland. Euler deltog i Sankt Petersburg-akademins publikationer, köpte böcker och instrument till den och redigerade de matematiska delarna av ryska tidskrifter. I hans lägenhet bodde i flera år unga ryska vetenskapsmän som skickades för utbildning. Man känner till Eulers livliga korrespondens med M. V. Lomonosov. 1747 gav han ett positivt omdöme till vetenskapsakademiens ordförande, greve K. G. Razumovsky, om Lomonosovs artiklar om fysik och kemi, och förklarade:

Alla dessa teser är inte bara bra, utan också mycket utmärkta, eftersom han skriver om den fysikaliska och kemiska materien som är mycket nödvändig, som hittills inte var känd och inte kunde tolkas av de smartaste människor, vilket han gjorde med sådan framgång att jag är helt övertygad om rättvisan i hans förklaringar. I det här fallet måste Lomonosov tillskrivas att han hade en utmärkt talang för att tolka fysikaliska och kemiska fenomen. Det är att hoppas att de andra akademierna kommer att kunna göra sådana avslöjanden som Lomonosov har visat.

Denna höga uppskattning förhindrades inte ens av det faktum att Lomonosov inte skrev matematiska verk och inte kunde högre matematik. Trots detta avbröt Euler 1755 alla förbindelser med Lomonosov på grund av hans taktlöshet, som utan Eulers tillstånd publicerade sitt privata brev till stöd för honom. Förbindelserna återupprättades 1761 eftersom Lomonosov underlättade Eulers återvändande till Ryssland.

Hans mor meddelade Euler om faderns död i Schweiz (hon flyttade snart in hos Euler (hon dog 1761). År 1753 köpte Euler en egendom i Charlottenburg (en förort till Berlin) med en trädgård och en tomt för sin stora familj.

Enligt samtida personer förblev Euler blygsam, glad, extremt sympatisk och alltid redo att hjälpa andra. Hans förhållande till kungen fungerade dock inte: Fredrik tyckte att den nya matematikern var outhärdligt tråkig, helt osocial och behandlade honom föraktfullt. År 1759 dog Mauperthuis, ordförande för vetenskapsakademin i Berlin och vän till Euler. Kung Fredrik II erbjöd D”Alumbert posten som akademiens ordförande, men han avböjde. Friedrich, som inte gillade Euler, anförtrodde honom ändå ledningen av akademin, men utan titeln president.

Under sjuårskriget ersatte fältmarskalk Saltykov omedelbart sina förluster, och senare skickade kejsarinnan Elisabeth ytterligare 4 000 rubel från sig själv.

År 1765 publicerades The The Theory of Motion of Solids och ett år senare Elements of Calculus of Variation. Det var här som namnet på den nya del av matematiken som skapades av Euler och Lagrange dök upp för första gången.

År 1762 besteg Katarina II den ryska tronen och förde en politik av upplyst absolutism. Hon var väl medveten om vetenskapens betydelse för statens utveckling och för sin egen prestige och genomförde ett antal viktiga förändringar i det offentliga utbildningssystemet och i den vetenskapliga kulturen. Kejsarinnan erbjöd Euler ledningen av en matematisk klass, titeln konferenssekreterare vid akademin och en lön på 1800 rubel per år. Och om du inte gillar det”, stod det i brevet till hennes representant, ”kommer hon gärna att meddela sina villkor, om du bara inte tvekar att komma till S:t Petersburg”.

Euler meddelade sina villkor som svar:

Alla dessa villkor godkändes. Den 6 januari 1766 informerade Katarina greve Vorontsov:

Herr Eulers brev till er har gjort mig mycket glad, eftersom jag i det har fått veta att han vill återgå till min tjänst. Naturligtvis anser jag att han är helt värdig den önskvärda titeln vice ordförande i vetenskapsakademin, men för detta måste vissa åtgärder vidtas innan jag fastställer titeln – jag säger fastställa den, eftersom den hittills inte har funnits. I det nuvarande läget finns det inga pengar för lönen på 3 000 rubel, men för en så förtjänstfull man som Euler ska jag lägga till akademilönen från statens inkomster, som tillsammans uppgår till de nödvändiga 3 000 rubel… Jag är säker på att min akademi kommer att resa sig ur askan av ett så viktigt förvärv och jag gratulerar mig själv på förhand till att ha återlämnat en stor man till Ryssland.

Senare ställde Euler ett antal andra villkor (en årlig pension på 1 000 rubel till hans hustru efter hans död, ersättning för resekostnader, en plats för hans medicinska son och en rang för Euler själv). Catherine uppfyllde också Eulers villkor, förutom kravet på rang, och sade skämtsamt: ”Jag skulle ha gett honom, om han hade velat, rang av… (i det franska utkastet till brevet är den kollegiala rådgivaren överstruken), om jag inte hade fruktat att denna rang skulle ha gjort honom likvärdig med så många människor som inte var värdiga herr Euler. Hans berömmelse är sannerligen bättre än den rang han har för att ge honom den respekt han förtjänar”.

Euler bad kungen om avsked från tjänsten, men fick inget svar. Han skickade in den på nytt – men Frederick ville inte ens diskutera frågan om hans avgång. Euler fick ett avgörande stöd av den ryska representationen genom de ihärdiga framställningarna från kejsarinnan. Den 2 maj 1766 gav Friedrich slutligen den store lärde tillstånd att lämna Preussen, även om han inte kunde avstå från att skämta om Euler i sin korrespondens (den 25 juli skrev han till D”Alamberto: ”Herr Euler, som älskade den stora och den lilla stjärnhimlen, flyttade närmare norr för att lättare kunna observera dem”). Han tjänstgjorde visserligen som överstelöjtnant i artilleriet (senare, genom Katarina II:s förbindelse, kunde han ändå ansluta sig till sin far och befordrades till generallöjtnant i den ryska armén. Sommaren 1766 återvände Euler till Ryssland – nu för gott.

Ryssland igen (1766-1783)

Den 17 (28) juli 1766 anlände den 60-årige Euler, hans familj och hushåll (totalt 18 personer) till den ryska huvudstaden. Direkt efter ankomsten togs han emot av kejsarinnan. Katarina II välkomnade honom som en högvördig person och överöste honom med förmåner: hon beviljade 8000 rubel för köp av ett hus på Vasilievskij-ön och för inköp av möbler, hon gav för första gången en av sina kockar och gav honom i uppdrag att förbereda överväganden för omorganisationen av akademin.

Tyvärr utvecklade Euler efter sin återkomst till S:t Petersburg grå starr på sitt enda kvarvarande vänstra öga och blev snart permanent blind. Förmodligen av denna anledning fick han aldrig den utlovade posten som akademins vice ordförande (vilket inte hindrade Euler och hans ättlingar från att delta i ledningen av akademin i nästan hundra år). Blindheten påverkade dock inte vetenskapsmannens arbetsförmåga, utan han påpekade bara att han nu inte skulle distraheras lika mycket av matematik. Innan Euler skaffade sig en sekreterare dikterade han sitt arbete till en tjock pojke som skrev ner allt på tyska. Under sin andra vistelse i Ryssland dikterade Euler mer än 400 artiklar och 10 böcker, vilket är mer än hälften av hans kreativa arv.

1768-1770 publicerade han sin klassiska monografi i två volymer, Universal Arithmetic (även publicerad som Elements of Algebra och The Complete Course of Algebra). Detta verk publicerades först på ryska (1768-1769) och två år senare kom en tysk utgåva. Boken översattes till många språk och trycktes om cirka 30 gånger (tre gånger på ryska). Alla senare algebraböcker var starkt påverkade av Eulers bok.

Under samma år publicerade han Dioptrica (1769-1771) i tre volymer om linsystem och den grundläggande institutionen Institutiones calculi integralis (1768-1770), också den i tre volymer.

Eulers ”Brev om olika fysiska och filosofiska frågor, skrivna till en tysk prinsessa” (1768) blev mycket populära under 1700-talet och delvis även under 1800-talet. (1768) som hade mer än 40 upplagor på 10 språk (inklusive 4 upplagor på ryska). Det var en populärvetenskaplig encyklopedi med stor räckvidd, skriven på ett levande och allmänt tillgängligt sätt.

År 1771 inträffade två allvarliga händelser i Eulers liv. I maj brann en stor brand i S:t Petersburg som förstörde hundratals byggnader, inklusive huset och nästan alla Eulers ägodelar. Forskaren själv räddades med nöd och näppe. Alla manuskript räddades från branden; endast en del av hans ”New Theory of Moon Motion” brändes, men den återställdes snabbt med hjälp av Euler, som behöll sitt fenomenala minne ända till sin höga ålder. Euler var tvungen att tillfälligt flytta till ett annat hus. Den andra händelsen: i september samma år anlände den berömda tyska ögonläkaren baron Wentzel till S:t Petersburg för att behandla Euler på kejsarinnans inbjudan. Efter en undersökning gick han med på att operera Euler och avlägsnade en gråstarr från hans vänstra öga. Euler kunde se igen. Läkaren ordinerade att han skulle hålla ögat borta från starkt ljus, inte skriva eller läsa – han skulle bara gradvis vänja sig vid det nya tillståndet. Men redan några dagar efter operationen tog Euler bort bandaget och förlorade snart synen igen. Den här gången för gott.

1772: ”En ny teori om månens rörelse”. Euler slutförde slutligen sitt mångåriga arbete genom att lösa tredjekroppsproblemet på ett ungefär.

År 1773 anlände Bernoullis elev Nikolaus Fuss från Basel till Sankt Petersburg på rekommendation av Daniel Bernoulli. Detta var en stor tur för Euler. Fuss, en begåvad matematiker, tog hand om Eulers matematiska arbete omedelbart efter hans ankomst. Fuss gifte sig snart med Eulers barnbarn. Under de följande tio åren – fram till sin död – dikterade Euler huvudsakligen sitt arbete för honom, även om han ibland använde sig av ”sin äldste sons ögon” och sina andra elever. Samma år 1773 dog Eulers hustru, som han hade levt med i nästan 40 år. Hans hustrus död var ett smärtsamt slag för vetenskapsmannen, som var uppriktigt fäst vid sin familj. Euler gifte sig snart med Salome Abigail, halvsyster till sin avlidna hustru.

General Spherical Trigonometry” publicerades 1779 och var den första omfattande beskrivningen av hela systemet för sfärisk trigonometri.

Euler arbetade aktivt ända till sina sista dagar. I september 1783 började den 76-årige vetenskapsmannen känna huvudvärk och svaghet. Den 7 (18) september, efter en middag med familjen, då han talade med akademiledamoten A. I. Lexel om den nyupptäckta planeten Uranus och dess bana, kände han sig plötsligt sjuk. Euler lyckades yttra: ”Jag är döende” och svimmade. Några timmar senare dog han av en hjärnblödning utan att ha återfått medvetandet.

”Han upphörde att räkna och leva”, sade Condorcet vid ett sorgligt möte med vetenskapsakademin i Paris (fr. Il cessa de calculer et de vivre).

Han begravdes på Smolensk Lutheran Cemetery i S:t Petersburg. Inskriptionen på monumentet på tyska lyder: ”Här ligger kvarlevorna av den världsberömde Leonhard Euler, en klok och rättfärdig man. Han föddes den 4 april 1707 i Basel och dog den 7 september 1783”. Efter Eulers död försvann hans grav och hittades först 1830 i ett förfallet skick. År 1837 ersatte vetenskapsakademin denna gravsten med en ny gravsten i granit (som fortfarande står kvar) med inskriptionen på latin ”Leonhard Euler – Academia Petropolitana” (lat. Leonhardo Eulero – Academia Petropolitana).

Under firandet av Eulers 250-årsjubileum (1957) överfördes den store matematikerns aska till ”1700-talets nekropol” på Lazarevskij-kyrkogården i Alexander Nevskij Lavra, där den ligger nära M. V. Lomonosovs grav.

Euler lämnade efter sig viktiga arbeten inom olika grenar av matematik, mekanik, fysik, astronomi och ett antal tillämpade vetenskaper. Eulers kunskaper var encyklopediska; förutom matematik studerade han botanik, medicin, kemi, musikteori och många europeiska och antika språk.

Euler deltog gärna i vetenskapliga diskussioner, som han var mest känd för:

I alla de nämnda fallen stöds Eulers ståndpunkt av den moderna vetenskapen.

Matematik

När det gäller matematik är 1700-talet Eulers tid. Medan framstegen inom matematiken före honom var spridda och inte alltid sammanhängande, kopplade Euler för första gången samman analys, algebra, geometri, trigonometri, talteori och andra discipliner till ett enhetligt system, samtidigt som han lade till många av sina egna upptäckter. Mycket av matematiken har sedan dess undervisats ”enligt Euler” i nästan oförändrad form.

Tack vare Euler har matematiken inkluderat den allmänna teorin om serier, den grundläggande ”Eulerformeln” i teorin om komplexa tal, modulo-jämförelseoperationen, den fullständiga teorin om kontinuerliga bråk, den analytiska grunden för mekanik, många tekniker för integration och lösning av differentialekvationer, talet e, notationen i för en imaginär enhet, ett antal specialfunktioner och mycket mer.

I själva verket var det Euler som skapade flera nya matematiska discipliner – talteori, variationskalkyl, teori om komplexa funktioner, differentialgeometri av ytor – och han lade grunden till teorin om speciella funktioner. Hans andra arbetsområden är bland annat diophantinsk analys, matematisk fysik och statistik.

Vetenskapshistorikern Clifford Truesdell skrev: ”Euler var den första vetenskapsmannen i den västerländska civilisationen som skrev om matematik på ett tydligt och lättläst språk”. Biografer påpekar att Euler var en virtuos algoritmiker. Han försökte alltid föra sina upptäckter till nivån för specifika beräkningsmetoder och var en mästare på numeriska beräkningar. J. Condorcet berättade att två studenter som oberoende av varandra utförde komplicerade astronomiska beräkningar fick något olika resultat i 50:e tecknet och bad Euler om hjälp. Euler gjorde samma beräkningar i sitt huvud och fick det korrekta resultatet.

П.  L. Chebyshev skrev: ”Euler var början på alla de undersökningar som utgör den allmänna talteorin”. De flesta av 1700-talets matematiker var engagerade i utvecklingen av analysen, men Euler hade passionen för den gamla aritmetiken med sig genom hela sitt liv. Tack vare hans skrifter väcktes intresset för talteori till liv i slutet av århundradet.

Euler fortsatte Fermats forskning, som tidigare (under inflytande av Diophantus) hade gjort ett antal spridda hypoteser om naturliga tal. Euler bevisade dessa hypoteser rigoröst, generaliserade dem avsevärt och kombinerade dem till en meningsfull talteori. Han introducerade den extremt viktiga ”Eulerfunktionen” i matematiken och använde den för att formulera ”Eulers sats”. Han motbevisade Fermats gissning att alla tal av formen Fn=22n+1{displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}} är primtal; det visade sig att F5{displaystyle F_{5}} är delbart med 641. Bevisade Fermats påstående om att ett udda primtal kan representeras som en summa av två kvadrater. Gav en av lösningarna på problemet med fyra kuber. Bevisade att Mersennes tal 231-1=2147483647{displaystyle 2^{31}-1=2147483647} är ett primtal; det förblev det största kända primtalet i nästan ett sekel (fram till 1867).

Euler skapade grunden för teorin om jämförelser och kvadratiska avledningar och specificerade kriteriet för lösbarhet för den senare. Euler introducerade begreppet originalrot och antog att det för varje primtal p finns en originalrot modulo p. Han kunde inte bevisa detta, men LeGendre och Gauss bevisade senare satsen. Eulers andra gissning, den kvadratiska reciprocitetslagen, som också bevisades av Gauss, var av stor betydelse för teorin. Euler bevisade Fermats stora sats för n=3{displaystyle n=3} och n=4{displaystyle n=4}, skapade en fullständig teori om kontinuerliga bråk, undersökte olika klasser av diofantinska ekvationer och teorin om att dela in tal i termer.

I problemet om antalet partitioner av ett naturligt tal n{displaystyle n} fick jag formeln som uttrycker den derivativa funktionen av antalet partitioner p(n){displaystyle p(n)} genom den oändliga produkten

Euler definierade zeta-funktionen, vars generalisering senare fick namnet Riemann:

där s{displaystyle displaystyle s} är ett verkligt tal (i Riemann är det komplext). Euler tog fram en dekomposition för den:

där produkten tas över alla primtal p{{{displaystyle displaystyle p}. På så sätt upptäckte han att det är möjligt att tillämpa matematiska analysmetoder inom talteorin, vilket gav upphov till den analytiska talteorin, som bygger på Eulers identitet och den allmänna metoden för derivatfunktioner.

Ett av Eulers viktigaste bidrag till vetenskapen var hans monografi ”Introduction to the Analysis of Infinitesimals” (1748). År 1755 publicerades den kompletterade ”Differential Calculus” och 1768-1770 publicerades tre volymer av ”Integral Calculus”. Sammantaget är detta en grundläggande, välillustrerad kurs med en genomarbetad terminologi och symbolik. ”Man kan lugnt säga att drygt hälften av det som nu lärs ut i kurser i högre algebra och högre analys finns i Eulers skrifter” (N. N. Luzin). Euler var den förste som gav en systematisk teori om integration och de tekniker som används i den. Han är särskilt upphovsmannen till den klassiska metoden för integration av rationella funktioner genom att dekomponera dem i enkla bråkdelar och metoden för att lösa differentialekvationer av godtycklig ordning med konstanta koefficienter.

Euler ägnade alltid särskild uppmärksamhet åt metoder för att lösa differentialekvationer – både vanliga och partiella derivat – och upptäckte och beskrev viktiga klasser av integrerbara differentialekvationer. Han utarbetade Eulers metod med brutna linjer (1768), en numerisk metod för att lösa system av vanliga differentialekvationer. Tillsammans med A. C. Clero härledde han villkor för integrerbarhet av linjära differentialformer med två eller tre variabler (1739). Han uppnådde viktiga resultat inom teorin om elliptiska funktioner, inklusive de första satserna om addition av elliptiska integraler (1761). Han var den förste som undersökte maxima och minima för funktioner med många variabler.

Grunden för de naturliga logaritmerna har varit känd sedan Neper och Jacob Bernoulli, men Euler genomförde en så djupgående studie av denna viktigaste konstant att den sedan dess har fått sitt namn efter honom. Han studerade en annan konstant: Euler-Mascheroni-konstanten.

Den moderna definitionen av de exponentiella, logaritmiska och trigonometriska funktionerna är också hans förtjänst, liksom deras symbolik och generalisering till komplexa fall. De formler som i läroböckerna ofta kallas ”Cauchy-Riemann-villkor” borde egentligen kallas ”D”Alambert-Euler-villkor”.

Han delar med Lagrange äran att ha upptäckt variationskalkylen genom att skriva Euler-Lagrange-ekvationer för det allmänna variationsproblemet. År 1744 publicerade Euler sin avhandling ”Method of finding curves…”.  – Det första verket om variationskalkyl (det innehöll bland annat den första systematiska framställningen av teorin om elastiska kurvor och resultat om materialens motståndskraft).

Euler utvecklade teorin om serier avsevärt och utvidgade den till den komplexa domänen genom att ge den berömda Eulerformeln som ger den trigonometriska representationen av ett komplext tal. Den matematiska världen blev mycket imponerad av de serier som Euler först sammanfattade, inklusive de omvända kvadratiska serierna, vilket ingen hade kunnat göra före honom:

Euler använde serier för att studera transcendentala funktioner, dvs. de funktioner som inte kan uttryckas med en algebraisk ekvation (t.ex. den integrala logaritmen). Han upptäckte (1729-1730) ”Eulers integraler” – särskilda funktioner som nu har kommit in i vetenskapen som gamma- och beta-Euler-funktioner. När Euler år 1764 löste problemet med svängningarna hos ett elastiskt membran (som hade sitt ursprung i bestämningen av ljudhöjden hos en trumma) var han den förste som introducerade Bessel-funktionerna för ett naturligt index (forskningen av F. W. Bessel, vars namn dessa funktioner numera bär, går tillbaka till 1824).

Ur en senare synvinkel kan Eulers agerande med oändliga serier inte alltid anses vara korrekt (analysen motiverades inte förrän ett halvt sekel senare), men hans fenomenala matematiska intuition gav honom nästan alltid rätt resultat. I många viktiga avseenden var hans insikt dock före sin tid – till exempel tjänade hans föreslagna generella förståelse av summan av divergerande serier och operationer med dem som grund för den moderna teorin om dessa serier, som utvecklades i slutet av 1800-talet och början av 1900-talet.

Inom elementär geometri upptäckte Euler flera fakta som Euklid inte hade noterat:

Den andra volymen av ”Introduction to the Analysis of Infinitesimals” (1748) var världens första lärobok i analytisk geometri och grunderna för differentialgeometri. Euler gav en klassificering av algebraiska kurvor av tredje och fjärde ordningen samt ytor av andra ordningen. Termen ”affina transformationer” introducerades för första gången i denna bok, tillsammans med teorin om sådana transformationer. År 1732 tog Euler fram den allmänna ekvationen för geodetiska linjer på en yta.

År 1760 publicerades den grundläggande boken Investigations on the Curvature of Surfaces. Euler upptäckte att det i varje punkt på en slät yta finns två normalsektioner med minsta och största krökningsradie och att deras plan är vinkelräta mot varandra. Han kom fram till en formel för förhållandet mellan ytans krökning och de viktigaste krökningarna.

År 1771 publicerade Euler sitt arbete ”On bodies whose surface can be unfolded into a plane”. I det här arbetet introduceras begreppet ”utvikbar yta”, dvs. en yta som kan överlagras på ett plan utan veck eller avbrott. Euler ger dock här en ganska allmän teori om metriker som hela ytans inre geometri beror på. Senare gör han studiet av metriker till det viktigaste verktyget i ytteorin.

I samband med kartografiska uppgifter undersökte Euler konforma avbildningar på djupet och använde för första gången verktygen för komplex analys.

Euler ägnade stor uppmärksamhet åt att representera naturliga tal som summor av ett speciellt slag och formulerade ett antal satser för att beräkna antalet partitioner. När han löste kombinatoriska problem studerade han ingående egenskaperna hos kombinationer och permutationer och introducerade Euler-talen.

Euler undersökte algoritmer för att bygga magiska kvadrater genom att använda schackhästar. Två av hans arbeten (1776, 1779) lade grunden för den allmänna teorin om latinska och grekisk-latinska kvadrater, vars stora praktiska värde blev uppenbart efter att Ronald Fisher skapade metoder för planering av experiment, liksom i teorin om felkorrigerande koder.

Eulers artikel ”Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” (Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis) från 1736 markerade början på grafteorin som matematisk disciplin. Problemet med broarna i Königsberg var utgångspunkten för studien: kan man gå över varje bro en gång och återvända till utgångspunkten? Euler formaliserade det genom att reducera det till problemet om det i ett diagram (vars hörn motsvarar stadsdelar som skiljs åt av grenar av floden Pregolya och vars kanter utgörs av broar) finns en cykel eller en väg som passerar genom varje kant exakt en gång (i modern terminologi en eulersk cykel respektive en eulersk väg). När Euler löste det senare problemet visade han att för att en eulersk cykel ska existera i en graf måste graden (antalet kanter som lämnar toppen) vara jämn för varje topp, och den eulerska vägen måste vara jämn för alla utom två (i problemet med Königsbergs broar är detta inte fallet: graderna är 3, 3, 3 och 5).

Euler bidrog på ett betydande sätt till teorin och metoderna för approximativ beräkning. Han var den förste som tillämpade analytiska metoder inom kartografin. Han föreslog en praktisk metod för grafisk representation av relationer och operationer på mängder, som kallas Eulercirklar (eller Euler-Vennes).

Mekanik och fysik

Många av Eulers verk handlar om olika grenar av mekanik och fysik. När det gäller Eulers nyckelroll när det gäller att göra mekaniken till en exakt vetenskap skrev C. Truesdell: ”Mekaniken, som den lärs ut till ingenjörer och matematiker idag, är till stor del hans skapelse”.

År 1736 publicerades Eulers avhandling i två volymer ”Mechanics, or the science of motion, in an analytical statement”, som markerade ett nytt skede i utvecklingen av denna gamla vetenskap och som ägnades åt den materiella punktens dynamik. Till skillnad från grundarna av denna gren av dynamiken, Galileo och Newton, som använde sig av geometriska metoder, föreslog den 29-årige Euler en regelbunden och enhetlig analytisk metod för att lösa olika dynamiska problem: att sammanställa differentialekvationer för ett materiellt föremåls rörelse och integrera dem under givna utgångsförhållanden.

Den första delen av avhandlingen behandlar rörelsen hos en fri materiell punkt, den andra – hos en egen punkt, och rörelsen i ett tomrum och i ett motståndsmedium undersöks. Ballistiska problem och pendelteorin behandlas separat. Här skriver Euler för första gången ner differentialekvationen för en punkts rätlinjiga rörelse och för det allmänna fallet med kurvlinjig rörelse introducerar han de naturliga rörelseekvationerna – ekvationer i projektioner på axlarna i den medföljande triedern. I många konkreta problem fullbordar han integrationen av rörelseekvationer ända fram till slutet; när det gäller punktrörelser utan motstånd använder han systematiskt det första integralet i rörelseekvationerna – energiintegralen. I den andra volymen presenteras Eulers differentialgeometri av ytor i samband med problemet med en punkts rörelse på en godtyckligt krökt yta.

Euler återkom senare till dynamiken i en materiell punkt. När han 1746 undersökte rörelsen hos en materiell punkt på en rörlig yta kom han (samtidigt med D. Bernoulli och P. Darcy) fram till teoremet om förändringen av vinkelmomentet. År 1765 använde Euler den idé som C. McLaren lade fram 1742 om att dela upp hastigheter och krafter längs tre fasta koordinataxlar och skrev för första gången ner differentialekvationerna för en materiell punkts rörelse i projektioner på de kartesiska fasta axlarna.

Det senare resultatet publicerades av Euler i hans andra grundläggande avhandling om analytisk dynamik – boken ”Theory of motion of solids” (1765). Det huvudsakliga innehållet ägnas dock åt en annan del av mekaniken – fasta kroppars dynamik, som Euler var grundaren av. Avhandlingen innehåller framför allt ett system av sex differentialekvationer för rörelse av en fri fast kropp. Satsen om reducering av systemet av krafter som tillämpas på en fast kropp till två krafter, som anges i § 620 i avhandlingen, är viktig för statiken. Genom att projicera villkoren för likhet mellan dessa krafter till noll på koordinataxlarna får Euler för första gången fram jämviktssekvationerna för en fast kropp under inverkan av ett godtyckligt rumsligt system av krafter.

Ett antal av Eulers grundläggande resultat som rör kinematik av fasta kroppar (kinematik hade ännu inte identifierats som en separat gren av mekaniken på 1700-talet) anges också i avhandlingen från 1765. Bland dem kan vi nämna Eulers formler för fördelningen av hastigheterna i punkter på en absolut fast kropp (den vektoriska motsvarigheten till dessa formler är Eulers kinematiska formel) och de kinematiska Euler-ekvationerna, som ger derivatan av Euler-vinkeln (som används inom mekaniken för att ange orienteringen av en fast kropp) genom projektionerna av vinkelhastigheterna på koordinataxlarna.

Förutom denna avhandling har två tidigare arbeten av Euler betydelse för fasta kroppars dynamik: ”Studies on the mechanical knowledge of bodies” och ”The rotational motion of solids around a variable axis”, som lämnades in till Berlins vetenskapsakademi 1758, men som publicerades i dess ”Notes” senare (samma år 1765 som avhandlingen). I dem utvecklades teorin om tröghetsmoment (som fastställde att det finns minst tre fria rotationsaxlar i en stel kropp med en fast punkt), de dynamiska Eulerekvationer som beskriver dynamiken hos en stel kropp med en fast punkt erhölls, en analytisk lösning av dessa ekvationer gavs i fallet med noll yttre kraft och huvudmoment (Eulerfallet) – ett av de tre allmänna fallen av integrerbarhet i problemet med dynamiken hos en tung stel kropp med en fast punkt.

I artikeln ”General formulae for arbitrary displacement of a rigid body” (1775) formulerar och bevisar Eulers fundamentala rotationssats, enligt vilken en godtycklig förflyttning av en absolut stel kropp med en fast punkt är en rotation med en viss vinkel runt en axel som går genom den fasta punkten.

Euler har fått erkännande för den analytiska formuleringen av principen om minsta verkan (som föreslogs 1744 – i en mycket luddig form – av P. L. Mauperthuis), den korrekta förståelsen av villkoren för principens tillämplighet och dess första bevis (som utfördes samma år 1744 för en materiell punkt som rör sig under inverkan av en central kraft). Den här åtgärden (den s.k. förkortade åtgärden och inte Hamiltons åtgärd) med avseende på systemet av materiella punkter förstås som integralen

där A{displaystyle A} och B{displaystyle B} är två konfigurationer av systemet, mi,vi{displaystyle m_{i},;v_{i}} och dsi{displaystyle mathrm {d} s_{i}}  – massa, algebraisk hastighet och bågelement för den i{displaystyle i}te punkten i banan, n{displaystyle n} är antalet punkter.

Detta ledde till att Mauperthuis-Euler-principen, den första i en serie av integrala variationsprinciper för mekanik, kom in i vetenskapen; senare generaliserades den av J.L. Lagrange och behandlas nu vanligtvis som en av formerna (Mauperthuis-Euler-formen, som betraktas tillsammans med Lagrange-formen och Jacobi-formen) av Mauperthuis-Lagrange-principen. Trots sitt avgörande bidrag försvarade Euler starkt Mauperthuis” prioritering i diskussionen om principen om minsta verkan och påpekade den grundläggande betydelsen av denna princip inom mekaniken. Denna idé väckte uppmärksamhet hos fysikerna som under 1800- och 1900-talen upptäckte den grundläggande roll som variationsprinciperna spelar i naturen och tillämpade den variationella metoden i många delar av sin vetenskap.

Ett antal av Eulers arbeten ägnas åt maskinmekanik. I sin memoar ”On the most profitable application of simple and complex machines” (1747) föreslog Euler att maskinerna inte skulle studeras i vila utan i rörelse. Detta nya, ”dynamiska” tillvägagångssätt motiverade och utvecklade Euler i sin memoarbok ”On machines in general” (i den var han den förste i vetenskapshistorien som pekade ut maskinernas tre beståndsdelar, som på 1800-talet definierades som motorer, kugghjul och arbetsdelar). I sin skrift ”Principles of the Theory of Machines” (1763) visade Euler att när man beräknar maskiners dynamiska egenskaper vid en accelererad rörelse måste man inte bara ta hänsyn till dragkrafterna och nyttolastens tröghet, utan även till trögheten hos alla maskinkomponenter, och han gav (med avseende på hydrauliska motorer) ett exempel på en sådan beräkning.

Euler behandlade också praktiska problem inom teorin om mekanismer och maskiner: teorin om hydrauliska maskiner och väderkvarnar, studiet av friktionen hos maskindelar och profilering av kugghjul (här motiverade och utvecklade han den analytiska teorin om involuta kugghjul). År 1765 lade han grunden till teorin om friktion för flexibla kablar och fick särskilt fram Eulers formel för att bestämma kabelspänningen, som fortfarande används för att lösa ett antal praktiska problem (t.ex. vid beräkning av mekanismer med flexibla länkar).

Euler förknippas också med det konsekventa införandet av kontinuumstanken i mekaniken, enligt vilken en materiell kropp representeras, abstraherad från dess molekylära eller atomära struktur, som ett kontinuerligt kontinuerligt kontinuerligt kontinuerligt medium. Kontinuumsmodellen introducerades av Euler i hans memoarer ”Discovery of a New Principle of Mechanics” (rapporterad 1750 till Berlins vetenskapsakademi och publicerad i dess memoarer två år senare).

Författaren till memoaren baserade sin analys på Eulers princip om materiella partiklar, ett påstående som fortfarande citeras i många läroböcker om mekanik och fysik (ofta utan att nämna Euler): en fast kropp kan modelleras med någon grad av noggrannhet genom att mentalt bryta ner den i tillräckligt små partiklar och behandla var och en av dem som en materiell punkt. Med hjälp av denna princip kan man härleda olika dynamiska relationer för en fast kropp genom att skriva ner deras analogier för enskilda materiella partiklar (i Eulers termer ”korpuskel”) och addera dem (i detta fall genom att ersätta summeringen över alla punkter med en integration över volymen av den yta som kroppen upptar). Detta tillvägagångssätt gjorde det möjligt för Euler att undvika att använda moderna metoder för integralkalkyl (t.ex. Stiltjes integral), som ännu inte var kända på 1700-talet.

På grundval av denna princip fick Euler – genom att tillämpa satsen om förändring av vinkelmomentet på en elementär materiell volym – Eulers första rörelselag (senare kom den andra Eulerska rörelselagen – resultatet av tillämpningen av satsen om förändring av vinkelmomentet). Eulers rörelselagar utgjorde i själva verket de grundläggande rörelselagarna för kontinuumsmekanik; det enda som saknades för att man skulle kunna övergå till de nu använda allmänna rörelseekvationerna för sådana medier var att uttrycka ytkrafterna genom spänningstensorn (detta gjordes av O. Cauchy på 1820-talet). Euler tillämpade de erhållna resultaten på studiet av specifika modeller av fasta kroppar – både i dynamiken hos fasta kroppar (det var i nämnda memoarer som ekvationerna för dynamiken hos en kropp med en fast punkt, som är hänvisad till godtyckliga kartesiska axlar, gavs för första gången), och i strömningsdynamiken och i elasticitetsteorin.

Inom elasticitetsteorin ägnas ett antal av Eulers studier åt teorin om böjning av balkar och stavar; i sina tidiga arbeten (1740-talet) löste han problemet med longitudinell böjning av en elastisk stav genom att komponera och lösa differentialekvationen för stavens böjda axel. År 1757 var Euler den förste i historien som i sin ”On the loading of columns” (om belastning av pelare) tog fram en formel för den kritiska belastningen vid kompression av en elastisk stång, vilket gav upphov till teorin om stabiliteten hos elastiska system. Den praktiska tillämpningen av denna formel kom mycket senare, nästan ett sekel senare, när många länder (främst England) började bygga järnvägar och det krävdes att man beräknade styrkan hos järnvägsbroar.

Euler är – tillsammans med D. Bernoulli och J. L. Lagrange – en av grundarna av den analytiska strömningsdynamiken. Han anses ha skapat teorin om rörelsen hos en idealisk vätska (dvs. en vätska utan viskositet) och löst några specifika problem inom strömningsmekaniken. I ”Principles of motion of fluids” (som publicerades nio år senare) tillämpade han sina dynamiska ekvationer för en elementär materiell volym av ett kontinuerligt medium på modellen av en inkompressibel perfekt vätska och fick för första gången fram rörelseekvationer för en sådan vätska, liksom (för det allmänna tredimensionella fallet) kontinuitetsekvationen. När Euler studerade den virvelfria rörelsen hos en inkompressibel vätska införde han funktionen S{displaystyle S} (senare kallad hastighetspotentialen av H. Helmholtz) och visade att den uppfyller en partiell differentialekvation – på så sätt fick vetenskapen tillgång till den ekvation som nu är känd som Laplaceekvationen.

Resultaten av detta arbete generaliserades avsevärt av Euler i hans avhandling ”General Principles of Motion of Fluids” (1755). Här presenterade han (praktiskt taget i modern notation) kontinuitetsekvationen och rörelseekvationerna (tre skalära differentialekvationer som i vektorform motsvarar Eulerekvationen – den grundläggande hydrodynamiska ekvationen för en idealisk vätska), och detta redan för en kompressibel idealisk vätska. Euler påpekade att för att avsluta detta system av fyra ekvationer behöver man en definierande relation som gör det möjligt att uttrycka trycket p{displaystyle p} (som Euler kallade ”elasticitet”) som en funktion av densiteten q{displaystyle q} och ”en annan egenskap r{displaystyle r} som påverkar elasticiteten” (egentligen menas temperaturen). Euler diskuterade möjligheten att det kan finnas icke-potentiella rörelser i en inkompressibel vätska och gav det första konkreta exemplet på ett virvelflöde, och för potentiella rörelser i en sådan vätska fick han fram det första integralet – ett specialfall av det numera välkända Lagrange-Cauchy-integralet.

Samma år publicerade Euler sin skrift ”General Principles of the Equilibrium State of Liquids”, som innehöll en systematisk presentation av hydrostatiken hos en ideal vätska (inklusive härledning av den allmänna jämviktsjämviktsjämvikten för vätskor och gaser) och en barometerformel för en isotermisk atmosfär.

I de ovan nämnda artiklarna skrev Euler ekvationer för rörelse och jämvikt i en vätska och tog som oberoende spatiala variabler de kartesiska koordinaterna för en materiell partikels aktuella position – Euler-variabler (D”Alambert var den förste som använde sådana variabler inom hydrodynamiken). Senare, i ”About principles of motion of fluids. Section Two” (1770) introducerade Euler den andra formen av hydrodynamikens ekvationer, där de kartesiska koordinaterna för en materiell partikels position i det första ögonblicket (nu kända som Lagrangevariabler) togs som oberoende rumsliga variabler.

Euler sammanställde de viktigaste resultaten på detta område i en Dioptrica i tre volymer (latin: Dioptrica, 1769-1771). Bland de viktigaste resultaten: regler för att beräkna de optimala egenskaperna hos refraktorer, reflektorer och mikroskop, beräkning av den största ljusstyrkan, det största synfältet, den kortaste instrumentlängden, den största förstoringen, egenskaperna hos okularet.

Newton hävdade att det i grunden är omöjligt att skapa en akromatisk lins. Euler hävdade att en kombination av material med olika optiska egenskaper skulle kunna lösa problemet. Efter en lång polemik lyckades Euler 1758 övertyga den engelske optikern John Dollond, som tillverkade den första akromatiska linsen genom att koppla ihop två linser av glas av olika sammansättning. 1784 byggde akademiledamoten F. Epinus i Sankt Petersburg världens första akromatiska mikroskop.

Astronomi

Euler arbetade mycket med himmelsmekanik. En av de brådskande uppgifterna vid den tiden var att bestämma parametrarna för en himlakropps bana (t.ex. en komet) utifrån ett litet antal observationer. Euler förbättrade avsevärt de numeriska metoderna för detta ändamål och tillämpade dem praktiskt vid bestämningen av kometens elliptiska bana från 1769; dessa arbeten användes av Gauss, som gav den slutliga lösningen på problemet.

Euler lade grunden till störningsteorin, som senare kompletterades av Laplace och Poincaré. Han introducerade det grundläggande begreppet om de oscillerande elementen i en omloppsbana och härledde de differentialekvationer som bestämmer deras förändring med tiden. Han konstruerade teorin om precession och nutation av jordens axel och förutspådde den ”fria rörelsen av jordens poler”, som upptäcktes ett sekel senare av Chandler.

1748-1751 publicerade Euler en fullständig teori om ljusaberration och parallax. År 1756 publicerade han differentialekvationen för astronomisk brytning och undersökte brytningens beroende av tryck och temperatur vid observationsplatsen. Dessa resultat hade ett enormt inflytande på astronomins utveckling under de följande åren.

Euler lade fram en mycket exakt teori om månens rörelse och utvecklade för detta ändamål en särskild metod för variation av banelementen. Under 1800-talet utvidgades denna metod och tillämpades på modeller för de stora planeternas rörelse och används fortfarande idag. Mayers tabeller, beräknade på grundval av Eulers teori (1767), visade sig också vara lämpliga för att lösa det brådskande problemet med att bestämma longitud till sjöss, och det engelska amiralitetet betalade Mayer och Euler ett särskilt pris för detta. Eulers viktigaste arbeten på detta område:

Euler undersökte gravitationsfältet inte bara för sfäriska utan även för ellipsoida kroppar, vilket var ett stort framsteg. Han var också den första vetenskapsmannen som påpekade den sekulära förskjutningen av ekliptikans lutning (1756), och på hans förslag har lutningen i början av 1700-talet sedan dess antagits som referens. Han utvecklade grunden för teorin om Jupiters och andra starkt komprimerade planeters satelliters rörelser.

År 1748, långt före P.N. Lebedevs arbete, antog Euler att kometstjärtar, norrsken och zodiakalt ljus har det gemensamt att solstrålningen påverkar atmosfären eller substansen hos himlakropparna.

Musikteori

Under hela sitt liv var Euler intresserad av musikalisk harmoni och strävade efter att ge den en tydlig matematisk grund. Syftet med hans tidiga verk Tentamen novae theoriae musicae (Tentamen novae theoriae musicae, 1739) var att matematiskt beskriva hur behaglig (euforisk) musik skiljer sig från obehaglig (obehaglig) musik. I slutet av kapitel VII i ”Experience” ordnade Euler intervallerna i ”grader av behaglighet” (gradus suavitatis), där oktaven tilldelades II (vissa klasser (inklusive första, tredje och sjätte) i Eulers tabell över behaglighet utelämnades). Det fanns ett skämt om detta verk som gick ut på att det innehöll för mycket musik för matematiker och för mycket matematik för musiker.

Under sina senare år, 1773, höll Euler en uppsats vid vetenskapsakademin i Sankt Petersburg där han formulerade sin ristade framställning av ljudsystemet i dess slutliga form; denna framställning betecknades metaforiskt av författaren som ”musikens spegel” (lat. speculum musicae). Följande år publicerades Eulers uppsats som en liten avhandling De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis (”Om harmonins sanna grunder presenterade genom speculum musicae”). Under namnet Tonnetz användes det eulerska rutnätet i stor utsträckning i 1800-talets tyska musikteori.

Andra kunskapsområden

År 1749 publicerade Euler en monografi i två volymer, ”The Science of the Sea, or a Treatise on Shipbuilding and Ship Navigation”, där han tillämpade analytiska metoder på de praktiska problemen med skeppsbyggnad och navigering till sjöss, t.ex. fartygens form, frågor om stabilitet och jämvikt samt metoder för att kontrollera fartygens rörelse. Krylovs allmänna teori om fartygs stabilitet är baserad på ”Marine Science”.

Eulers vetenskapliga intressen omfattade även fysiologi; särskilt tillämpade han hydrodynamikens metoder för att studera principerna för blodflödet i kärlen. År 1742 skickade han en artikel till akademin i Dijon om flödet av vätskor i elastiska rör (som betraktas som kärlmodeller), och i december 1775 överlämnade han till vetenskapsakademin i Petersburg en memoar med titeln Principia pro motu sanguines per arteria determinando (Principer för att bestämma blodets rörelser genom artärer). I detta arbete analyserades de fysiska och fysiologiska principerna för blodrörelser som orsakas av hjärtats periodiska sammandragningar. Euler behandlade blodet som en inkompressibel vätska och hittade en lösning på de rörelseekvationer som han hade utarbetat för stela rör, medan han för elastiska rör begränsade sig till att härleda allmänna ekvationer för finita rörelser.

En av de viktigaste uppgifterna för Euler när han kom till Ryssland var att utbilda vetenskaplig personal. Bland Eulers direkta elever:

En av Eulers prioriteringar var att skapa läroböcker. Själv skrev han ”Manual of Arithmetic for use in the gymnasium of the Imperial Academy of Sciences” (1738-1740), ”Universal Arithmetic” (1768-1769). Euler använde sig enligt Fuss av en originell metod – han dikterade läroboken till en pojktjänare och tittade på hur denne förstod texten. Som ett resultat lärde sig pojken att lösa problem och utföra beräkningar självständigt.

Euler är uppkallad efter honom:

Eulers fullständiga verk, som sedan 1909 publicerats av Swiss Society of Naturalists, är fortfarande ofullständiga. 75 volymer planerades, varav 73 publicerades:

Ytterligare åtta volymer kommer att ägnas åt Eulers vetenskapliga korrespondens (över 3 000 brev).

År 1907 firade ryssar och många andra vetenskapsmän den store matematikerns 200-årsdag, och 1957 firade de sovjetiska och berlinska vetenskapsakademierna högtidligt hans 250-årsdag. Inför Eulers 300-årsdag (2007) hölls ett internationellt jubileumsforum i S:t Petersburg och en film om Eulers liv gjordes. Samma år invigdes ett monument över Euler vid ingången till det internationella Eulerinstitutet i S:t Petersburg. Myndigheterna i S:t Petersburg avvisade dock alla förslag om att namnge ett torg eller en gata efter vetenskapsmannen, och det finns fortfarande inga Euler-gator i Ryssland.

Personliga egenskaper och betyg

Enligt hans samtida var Euler godhjärtad, mild till sin karaktär och hade nästan inga gräl med någon. Till och med Johann Bernoulli, vars hårda karaktär hans bror Jakob och son Daniel fick uppleva, var alltid varm mot honom. Euler behövde bara en sak för att få ett fulländat liv – möjligheten till regelbunden matematisk kreativitet. Han kunde arbeta intensivt även ”med ett barn i knät och en katt på ryggen”. Samtidigt var Euler glad och sällskaplig, han älskade musik och filosofiska samtal.

Akademiledamoten P.P. Pekarsky rekonstruerade bilden av den lärde utifrån vittnesmål från Eulers samtida: ”Euler hade den stora konsten att inte visa upp sin lärdom, att dölja sin överlägsenhet och att vara på allas nivå. Han var alltid jämn i humöret, mild och naturligt glad, en viss hånfullhet med ett inslag av godmodighet, naiv och humoristisk konversation – allt detta gjorde samtalet med honom lika trevligt som attraktivt.

Euler var mycket religiös, vilket samtida personer påpekar. Enligt Condorcet samlade Euler varje kväll sina barn, tjänare och elever som bodde hos honom för att be. Han läste ett kapitel ur Bibeln och ibland följde han med en predikan. År 1747 publicerade Euler en avhandling för att försvara kristendomen mot ateismen, ”Defence of Divine Revelation against the Attacks of Free Thinkers”. Eulers fascination för teologiska resonemang orsakade en negativ attityd mot honom (som filosof) hos hans berömda samtidiga kolleger – D”Alembert och Lagrange. Fredrik II, som ansåg sig vara en ”fritänkare” och brevväxlade med Voltaire, sade att Euler ”luktade präst”.

Euler var en omtänksam familjefar som gärna hjälpte kollegor och unga människor och som generöst delade med sig av sina idéer till dem. Det är välkänt att Euler försenade sina publikationer om variationskalkyl så att den då unga och okända Lagrange, som oberoende av varandra hade kommit fram till samma upptäckter, kunde publicera dem först. Lagrange beundrade alltid Euler både som matematiker och som människa; han sa: ”Om du verkligen älskar matematik, läs Euler”.

”Läs, läs Euler, han är vår gemensamma lärare”, som Laplace brukade upprepa (Fr. Lisez Euler, lisez Euler, c”est notre maître à tous.). Eulers verk studerades med stor fördel av ”matematikerkonungen” Karl Friedrich Gauss och praktiskt taget alla berömda vetenskapsmän under 1700- och 1800-talen.

I ett av sina brev till Lagrange kallar D”Alambert Euler för ”den djävulen” (frès se diable d”homme), som om han därmed, enligt kommentatorerna, ville antyda att det som Euler hade gjort var bortom mänsklig makt.

М.  V. Ostrogradskij konstaterade i ett brev till N. N. Fuss: ”Euler skapade den moderna analysen, berikade den mer än alla hans efterföljare tillsammans och gjorde den till det mänskliga förnuftets mäktigaste instrument”. Akademiledamoten S. I. Vavilov skrev: ”Tillsammans med Peter I och Lomonosov blev Euler vår akademis goda geni, som bestämde dess ära, dess fästning och dess produktivitet.

Bostadsadresser

Mellan 1743 och 1766 bodde Euler i huset Berenstrasse 21.

Från 1766 bodde Euler i ett hyreshus på 15 Nikolajevskaja Embankment (med ett avbrott på grund av en stor brand). Under sovjettiden döptes gatan om till Lieutenant Schmidt Quay. Det finns en minnesplakett på huset och det är numera en gymnasieskola.

Frimärken, mynt, sedlar

År 2007 gav den ryska centralbanken ut ett jubileumsmynt för att fira 300-årsdagen av L. Eulers födelse. Eulers porträtt finns också på den schweiziska 10 franc-sedeln (serie 6) och på frimärken från Schweiz, Ryssland och Tyskland.

Olympiader i matematik

Många av de fakta inom geometri, algebra och kombinatorik som Euler bevisade används allmänt i Olympiadmatematiken.

Den 15 april 2007 anordnades en matematikolympiad för skolelever på Internet för att fira 300-årsdagen av Leonhard Eulers födelse, med stöd av ett antal organisationer. Sedan 2008 har Leonhard Euler-matematikolympiaden för åttondeklassare anordnats, delvis för att kompensera för förlusten av de regionala och avslutande etapperna av den allryska matematikolympiaden för åttondeklassare.

Historiker har upptäckt drygt tusen direkta ättlingar till Leonhard Euler. Den äldsta sonen Johann Albrecht blev en betydande matematiker och fysiker. Den andra sonen Karl var en berömd läkare. Den yngre sonen Christopher blev senare generallöjtnant i den ryska armén och chef för Sestroretsk vapenfabrik. Alla Eulers barn antog ryskt medborgarskap (Euler själv förblev schweizisk medborgare hela sitt liv).

I slutet av 1980-talet räknade historiker till cirka 400 levande ättlingar, varav ungefär hälften bodde i Sovjetunionen.

Här är ett kort släktträd över några av Eulers kända ättlingar (efternamnet anges om det inte är ”Euler”).

Andra ättlingar till Euler är N. I. Gekker, V. F. Gekker och I. R. Gekker, V. E. Scalon och E. N. Behrendts. Bland deras ättlingar finns många vetenskapsmän, geologer, ingenjörer, diplomater och läkare, samt nio generaler och en amiral. En ättling till Euler är ordföranden för den internationella kriminologiklubben i S:t Petersburg, D.A. Shestakov.

Källor

  1. Эйлер, Леонард
  2. Leonhard Euler