Euklid

Dimitris Stamatios | maj 18, 2023

Resumé

Euklid (græsk Εὐκλείδης, Eukleidēs, latin Euclīdēs) var en græsk matematiker og geometriker (ca. 325 f.Kr. – ca. 265 f.Kr.). Han er kendt som “geometriens fader”. Han var aktiv i Alexandria (det gamle Egypten) på Ptolemæus I Soters tid (323 – 283 f.Kr.). Han var grundlæggeren af byens matematiskole.

Hans mest berømte værk var Elementerne, der ofte betragtes som den mest succesfulde lærebog i matematikkens historie. Egenskaberne ved geometriske objekter og naturlige tal udledes af et lille sæt aksiomer. Dette værk, der er en af de ældste kendte afhandlinger, som systematisk præsenterer et stort sæt sæt sætninger om geometri og teoretisk aritmetik med beviser, har oplevet hundredvis af udgaver på alle sprog, og dets emner er stadig grundlaget for matematikundervisningen på sekundærtrinnet i mange lande. Euklids navn er afledt af Euklids algoritme, euklidisk geometri (og ikke-euklidisk geometri) og euklidisk division. Han skrev også om perspektiv, keglesnit, sfærisk geometri og talteori.

Hans liv er lidet kendt, da han levede i Alexandria (en by i det nordlige Egypten) under Ptolemæus I. Visse arabiske forfattere hævder, at Euklid blev født i Tyrus og levede i Damaskus. Visse arabiske forfattere hævder, at Euklid blev født i Tyrus og boede i Damaskus. Der findes ingen direkte kilde til Euklids liv: intet brev, ingen selvbiografiske oplysninger (end ikke i form af et forord i et værk), intet officielt dokument og ikke engang nogen hentydning fra en af hans samtidige. Som matematikhistorikeren Peter Schreiber opsummerer det, “er der ikke en eneste sikker kendsgerning kendt om Euklids liv. Han var søn af Naukrates, og der er blevet fremsat tre hypoteser:

Euklid studerede sandsynligvis på Platons akademi, hvor han lærte det grundlæggende i sin viden.

Proklos, den sidste af de store græske filosoffer, som levede omkring 450, skrev vigtige kommentarer til Bog I af Elementerne, som er en værdifuld kilde til information om den græske matematiks historie. Således ved vi f.eks. at Euklid samlede bidrag fra Eudoxus af Cnidus om proportionsteorien og fra Theaetetus om regelmæssige polyedre.

Det ældste kendte skrift om Euklids liv findes i et resumé af geometriens historie skrevet i det 5. århundrede e.Kr. af den neoplatoniske filosof Proklos, en kommentator til den første bog af Elementerne. Proklos selv angiver ikke nogen kilde til sine angivelser. Han siger blot: “samler sine Elementer og fremkalder i uigendrivelige demonstrationer det, som hans forgængere havde lært på en afslappet måde. Denne mand levede på den anden side under den første Ptolemæus, da Archimedes nævner Euklid. Euklid er derfor nyere end Platons disciple, men ældre end Archimedes og Eratosthenes”.

Hvis man accepterer Proklos’ kronologi, levede Euklid mellem Platon og Arkimedes og var samtidige med Ptolemæus I omkring 300 f.Kr.

Intet dokument modsiger disse få sætninger, og det bekræfter dem heller ikke rigtig. Euklids direkte omtale af Archimedes’ værker stammer fra en passage, der anses for tvivlsom.

Archimedes henviser til nogle resultater af Elementerne og en ostrachus, der er fundet på øen Elephantine og dateret III f.Kr.: den omhandler figurer, der er studeret i bog XIII af Elementerne, såsom dekagon og icosaeder, men uden at gengive de euklidiske udsagn nøjagtigt; de kunne derfor stamme fra kilder før Euklid. Den omtrentlige datering på 300 f.Kr. anses imidlertid for at være forenelig med analysen af indholdet af det euklidiske værk og er den, som matematikkens historikere har valgt.

På den anden side er der en hentydning fra matematikeren Papo af Alexandria i 4. e.Kr., som antyder, at elever af Euklid skulle have undervist i Alexandria. Nogle forfattere har på dette grundlag forbundet Euklid med Museion i Alexandria, men han optræder ikke i noget officielt dokument. Det tilnavn, der ofte forbindes med Euklid i antikken, er simpelthen Stoitxeiotes, forfatteren af Elementerne.

Der cirkulerer adskillige anekdoter om Euklid, men da de også findes om andre matematikere, betragtes de ikke som ægte: for eksempel den berømte anekdote, forklaret af Proklos, ifølge hvilken Euklid skulle have svaret Ptolemæus – som ønskede en nemmere vej end elementerne – at der ikke fandtes rigtige veje i geometri; en variant af samme anekdote tilskrives også Menecmus og Alexander den Store. På samme måde blev der fra senantikken tilføjet forskellige detaljer til beretningerne om Euklids liv, uden nye kilder og ofte på en modstridende måde. Nogle forfattere lader Euklid blive født i Tyrus, andre i Gela; forskellige genealogier, bestemte mestre, forskellige fødsels- og dødsdatoer tilskrives ham for at overholde genrens regler eller for at fremme visse fortolkninger. I middelalderen og i begyndelsen af renæssancen blev matematikeren Euklid ofte forvekslet med en af Platons samtidige filosoffer, Euklid af Megara.

Der findes omtaler af værker, der tilskrives Euklid, hos flere forfattere, især i Pappus’ matematiske samling (normalt dateret til det 3. eller 4. århundrede) og i Proklos’ kommentar til Euklids Elementer. Kun en del af disse værker har overlevet til i dag.

Fem værker er overleveret til os: Data, Om opdelinger, Katoptri, Himlens udseende og Optik. Fra arabiske kilder tilskrives Euklid flere afhandlinger om mekanik. Om det tunge og det lette indeholder i ni definitioner og fem sætninger de aristoteliske begreber om legemers bevægelse og begrebet om den specifikke tyngdekraft. Om ligevægt behandler også teorien om løftestangen på en aksiomatisk måde med en definition, to aksiomer og fire sætninger. Et tredje fragment, om de cirkler, der beskrives af enderne af en bevægelig løftestang, indeholder fire sætninger. Disse tre værker supplerer hinanden på en sådan måde, at det er blevet foreslået, at de er rester af en enkelt afhandling om mekanik skrevet af Euklid.

Elementer

Hans Elementer er en af verdens mest kendte videnskabelige produktioner og var en samling af den viden, der blev undervist i den akademiske verden på det tidspunkt. Elementerne var ikke, som man sommetider tror, et kompendium af al geometrisk viden, men snarere en introduktionstekst, der dækkede al elementær matematik, dvs. aritmetik, syntetisk geometri og algebra.

Elementerne er opdelt i tretten bøger eller kapitler, hvoraf den første halve snes er om elementær plan geometri, de næste tre om talteori, bog X om incommensurables og de sidste tre hovedsagelig om geometri af faste legemer.

I bøgerne om geometri er studiet af egenskaberne ved linjer og planer, cirkler og kugler, trekanter og kegler osv., dvs. regelmæssige figurer, præsenteret på en formel måde med udgangspunkt i kun fem postulater. Sandsynligvis blev ingen af resultaterne i Elementerne først demonstreret af Euklid, men tilrettelæggelsen af materialet og dets fremstilling skyldes utvivlsomt ham. Faktisk er der mange tegn på, at Euklid brugte tidligere lærebøger, da han skrev Elementerne, da han præsenterer et stort antal definitioner, som ikke anvendes, f.eks. af en oblong, en rhombe og en rhomboid. Euklids sætninger er dem, som man almindeligvis lærer i moderne skoler. For at citere nogle af de mest kendte:

Bøgerne VII, VIII og IX i Elementerne behandler teorien om delbarhed. De behandler forbindelsen mellem perfekte tal og Mersenne-præmier (kendt som Euklid-Euler-sætningen), uendeligheden af primtal (Euklids sætning), Euklids lemma om faktorisering (som fører til den grundlæggende sætning i aritmetik om entydigheden af faktoriseringer af primtal) og Euklids algoritme til at finde den største fælles divisor af to tal.

Euklids geometri har ud over at være et effektivt redskab til deduktiv ræsonnement været yderst nyttig inden for mange vidensområder, f.eks. inden for fysik, astronomi, kemi og forskellige ingeniørfag. Den er bestemt meget nyttig inden for matematik. Inspireret af harmonien i Euklids fremstilling blev der i det andet århundrede formuleret den ptolemæiske teori om universet, ifølge hvilken Jorden er universets centrum, og planeterne, Månen og Solen kredser om den i perfekte linjer, dvs. cirkler og kombinationer af cirkler. Euklids idéer udgør imidlertid en betydelig abstraktion fra virkeligheden. Han antager f.eks., at et punkt ikke har nogen størrelse, at en linje er et sæt af punkter, der hverken har bredde eller tykkelse, men kun længde, at en flade ikke har nogen tykkelse osv. Da et punkt ifølge Euklid ikke har nogen størrelse, tildeles det dimensionen nul. En linje har kun længde, så den får en dimension lig med et. En flade har ingen tykkelse, ingen højde, så den får dimension to: bredde og længde. Endelig har et fast legeme, f.eks. en terning, dimension tre: længde, bredde og højde. Euklid forsøgte at sammenfatte al matematisk viden i sin bog Elementerne. Euklids geometri var et værk, som forblev uændret indtil det 19. århundrede.

Af de indledende aksiomer var det kun parallelaksiomet, der virkede mindre indlysende. Forskellige matematikere forsøgte forgæves at undvære dette aksiom ved at forsøge at udlede det af resten af aksiomerne. De forsøgte at præsentere det som et teorem, uden at det lykkedes dem at

Endelig skabte nogle forfattere nye geometrier baseret på at ophæve eller erstatte parallelaksiometrierne, hvilket gav anledning til “ikke-euklidiske geometrier”. Det vigtigste kendetegn ved disse geometrier er, at ved at ændre parallelaksiomet, kan vinklerne i en trekant ikke længere summeres til 180 grader.

Data (Δεδομένα) er det eneste andet værk af Euklid, der omhandler geometri, og som der findes en græsk udgave af (det findes f.eks. i det X-manuskript, der blev opdaget af Peyrard). Det er også beskrevet i detaljer i bog VII i Papos matematiske samling, “Skatkammeret for analyse”, der er nært beslægtet med de første fire bøger af Elementerne. Den omhandler den type information, der gives i geometriske problemer, og dens karakter. Data er placeret inden for rammerne af den plane geometri og betragtes af historikere som et supplement til Elementerne, i en form, der er mere egnet til analyse af problemer. Værket indeholder 15 definitioner og forklarer, hvad et geometrisk objekt betyder, i position, i form, i størrelse og 94 sætninger. Disse forklarer, at hvis nogle elementer af en figur er givet, kan andre relationer eller elementer bestemmes.

Om afdelinger

Dette værk (der findes stykker på latin (De divisionibus), men der findes især et manuskript på arabisk, som blev fundet i det 19. århundrede, og som indeholder 36 sætninger, hvoraf fire er beviste.

Det drejer sig om opdeling af geometriske figurer i to eller flere lige store dele eller i dele med bestemte proportioner. Den ligner et værk fra det 3. århundrede e.Kr. af Heron af Alexandria. I dette værk forsøger han at konstruere lige linjer, der opdeler givne figurer i givne proportioner og former. F.eks. skal man, givet en trekant og et punkt i trekanten, konstruere en linje, der går gennem punktet og skærer trekanten i to figurer med samme areal, eller, givet en cirkel, konstruere to parallelle linjer, så den del af cirklen, som de afgrænser, udgør en tredjedel af cirklens areal.

Om fejlslutninger (Pseudaria)

Om fejlslutninger (Περὶ Ψευδαρίων), en tekst om fejl i ræsonnementer, er et tabt værk, som kun kendes fra Proklos’ beskrivelse. Ifølge ham var formålet med værket at vænne begyndere til at opdage falske ræsonnementer, især dem, der efterligner deduktive ræsonnementer og dermed har et udseende af sandhed. Han gav eksempler på parallelogismer.

Fire bøger om keglesnit

Four Books on Conic Sections (Κωνικῶν Βιβλία) er nu gået tabt. Det var et værk om keglesnit, som blev udbygget af Apollonius af Perga i en berømt bog om samme emne. Det er sandsynligt, at de første fire bøger af Apollonius’ værk stammer direkte fra Euklid. Ifølge Papo “efter at Apollonius havde afsluttet Euklids fire bøger om kegleformethed og tilføjet yderligere fire, efterlod han otte bind om kegleformethed”. Apollonius’ keglektikker erstattede hurtigt det oprindelige værk, og på Papos tid var Euklids værk gået tabt.

Tre bøger om porismer

Three books of porisms (Πορισμάτων Βιβλία) kan have været en forlængelse af hans arbejde om keglesnit, men betydningen af titlen er ikke klar. Det er et værk, der er gået tabt. Værket er fremkaldt i to passager hos Proklos, og frem for alt er det genstand for en lang præsentation i bog VII i Pappus’ samling, “Skatkammeret af analyser”, som et betydningsfuldt og vidtrækkende eksempel på den analytiske tilgang. Ordet porisma har flere anvendelser: ifølge Papo vil det her betegne et udsagn af en mellemliggende type mellem teoremer og problemer. Euklids værk skulle have indeholdt 171 sådanne udsagn og 38 lemmaer. Pappos giver eksempler, såsom “hvis man med udgangspunkt i to givne punkter tegner lige linjer, der skærer en given ret linje, og hvis den ene af disse skærer et segment på en given ret linje, vil den anden gøre det samme på en anden ret linje, med et fast forhold mellem de to segmenter, der skæres. At fortolke den nøjagtige betydning af, hvad der er en porisme, og eventuelt at genskabe alle eller en del af Euklids udsagn ud fra de oplysninger, som Pappus har efterladt, har optaget mange matematikere: de mest kendte forsøg er Pierre Fermats i det 17. århundrede, Robert Simsons i det 18. århundrede og især Michel Chasles i det 19. århundrede. Selv om Chasles’ rekonstruktion ikke tages alvorligt som sådan af historikere i dag, har den givet matematikeren mulighed for at udvikle begrebet anharmonisk relation.

To bøger om geometriske steder

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β’ handlede om geometriske steder på overflader eller geometriske steder, der i sig selv var overflader. I en senere fortolkning er der opstillet en hypotese om, at værket kunne have handlet om kvadratiske overflader. Det er også et forsvundet værk på to bøger, der nævnes i Pappus’ analyse i Skatkammeret. Angivelserne hos Proclus eller Pappus om disse steder hos Euklid er tvetydige, og det præcise spørgsmål, der stilles i værket, kendes ikke. I traditionen i den antikke græske matematik er steder et sæt af punkter, der bekræfter en given egenskab. Disse sæt er ofte lige linjer eller keglesnit, men de kan også være f.eks. flade overflader. De fleste historikere vurderer, at Euklids sted kunne være omdrejningsflader, kugler, kegler eller cylindre.

Himlens udseende

Appearances of the Sky or Phenomena (# Φαινόμενα) er en afhandling om positionsastronomi, som er bevaret på græsk. Den ligner meget et værk af Autolytos (On the Notion of the Sphere) og diskuterer anvendelsen af kuglens geometri på astronomi og er overleveret på græsk i flere håndskriftversioner, hvoraf den ældste stammer fra det 10. århundrede. Denne tekst forklarer det, der kaldes “lille astronomi”, i modsætning til de emner, der behandles i Ptolemæus’ store komposition (Almagest). Den indeholder 18 sætninger og ligger tæt op ad de bevarede værker om samme emne af Autolytos af Pitane.

Optik

Optik (Ὀπτικά) er den ældste bevarede græske afhandling i flere versioner, der er helliget problemer, som vi i dag ville sige om perspektiv, og som tilsyneladende er beregnet til brug i astronomien, og som har form af Elementer: den er en fortsættelse af 58 sætninger, hvis beviser hviler på definitioner og postulater, der er anført i begyndelsen af teksten. I sine definitioner følger Euklid den platoniske tradition, som fastslår, at synet skyldes stråler, der udgår fra øjet. Euklid beskriver den tilsyneladende størrelse af en genstand i forhold til dens afstand fra øjet og undersøger den tilsyneladende form af cylindre og kegler, når de ses fra forskellige vinkler.

Euklid viser, at de tilsyneladende størrelser af lige store objekter ikke er proportionale med deres afstand til vores øje (sætning 8). Han forklarer f.eks. vores syn af en kugle (og andre simple overflader): øjet ser en mindre overflade i midten af kuglen, en endnu mindre andel, når kuglen er tættere på, selv om den sete overflade synes større, og omridset af den sete er en cirkel. Afhandlingen er især i modstrid med en opfattelse, der forsvares i nogle tankeskoler, ifølge hvilken den virkelige størrelse af objekter (især himmellegemer) er deres tilsyneladende størrelse, den, der ses.

Papo anså disse resultater for at være vigtige for astronomien og inkluderede Euklids Optik sammen med hans Fænomener i et kompendium af mindre værker, som skulle studeres før Claudi Ptolemeus Almagest.

Afhandling om musik

Proklos tilskriver Euklid en afhandling om musik (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), der ligesom astronomien hører til blandt de matematiske videnskaber, teoretisk musik, f.eks. i form af en anvendt teori om proportioner. To små skrifter er bevaret på græsk og er medtaget i antikke udgaver af Euklid, men deres adjudation er usikker, ligesom deres mulige forbindelse med Elementerne. De to skrifter (et afsnit af kanon om musikalske intervaller og en harmonisk indledning) betragtes derimod som modstridende, og i det mindste det andet skrift anses nu af forskere for at være skrevet af en anden forfatter.

Værker, der fejlagtigt tilskrives Euklid

Katoptrikken (Κατοητρικά) beskæftiger sig med den matematiske teori om spejle, især de billeder, der dannes i konkave plane og sfæriske spejle. Det er tvivlsomt, om den kan tilskrives Euklid; dens forfatter kan have været Theon af Alexandria. Den optræder i Euklids tekst om optik og i Proklos’ kommentar. Den anses nu for tabt, og især Catoptricus, der længe blev offentliggjort som en fortsættelse af Optik i gamle udgaver, tilskrives ikke længere Euklid; den anses for at være en senere kompilation.

Euklid nævnes også som forfatter af fragmenter vedrørende mekanik, især i tekster om håndtag og vægt, i nogle latinske og arabiske manuskripter. Denne tilskrivning anses nu for tvivlsom.

Andre referencer

Kilder

1. Euclides
2. Euklid
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. Cette édition est accessible en ligne sur Internet Archive.
5. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
6. Affirmation tenue pour exacte jusqu’à ce que l’érudit persan Alhazen (965-1040), dans son Kitab al-Manazir (livre d’optique), affirme le contraire[33].
7. ^ Ball, pp. 50–62.
8. ^ Boyer, pp. 100–119.
9. Natorp P. Diokleides 4 (нем.) // (unknown type) — 1903.
10. Евклид. Большая российская энциклопедия.
11. Зубов, 2007, с. 510.