Leonhard Euler
Alex Rover | maj 6, 2023
Resumé
Leonhard Euler (15. april 1707, Basel, Schweiz – 7. (18.) september 1783, Sankt Petersborg, Det Russiske Imperium) var en schweizisk, preussisk og russisk matematiker og mekaniker, som ydede grundlæggende bidrag til udviklingen af disse videnskaber (samt fysik, astronomi og flere anvendte videnskaber). Sammen med Lagrange var han den største matematiker i det 18. århundrede og betragtes som en af de største matematikere i historien. Euler skrev over 850 værker (herunder to dusin grundlæggende monografier) om matematisk analyse, differentialgeometri, talteori, tilnærmelsesberegning, himmellegemekanik, matematisk fysik, optik, ballistik, skibsbygning, musikteori og andre emner. Han studerede medicin, kemi, botanik, luftfart, musikteori og mange europæiske og gamle sprog. Akademiker ved videnskabsakademierne i Sankt Petersborg, Berlin, Torino, Lissabon og Basel, udenlandsk medlem af videnskabsakademiet i Paris. Det første russiske medlem af det amerikanske videnskabsakademi.
Han tilbragte næsten halvdelen af sit liv i Rusland, hvor han bidrog væsentligt til udviklingen af den russiske videnskab. I 1726 blev han inviteret til at arbejde i Sankt Petersborg, hvor han flyttede hen et år senere. Fra 1726 til 1741 og fra 1766 var han akademiker for Sankt Petersborgs videnskabsakademi (fra 1741 til 1766 arbejdede han i Berlin (samtidig forblev han æresmedlem af Sankt Petersborgs akademi). Efter et år i Rusland havde han et godt kendskab til russisk, og nogle af hans værker (især lærebøger) blev udgivet på russisk. De første russiske akademikere-matematikere (S. K. Kotelnikov) og astronomer (S. Ya. Rumovsky) var elever af Euler.
Schweiz (1707-1727)
Leonhard Euler blev født i 1707 i familien af præsten Paul Euler fra Basel, en ven af Bernoulli-familien, og Marguerite Euler, født Brooker. Kort efter hans fødsel flyttede familien til Richeng, hvor drengen tilbragte sine første år. Leonard fik sin primære uddannelse hjemme under sin fars vejledning (denne havde studeret matematik under Jakob Bernoulli). Præsten forberedte sin ældste søn på en åndelig karriere, men han lærte ham også matematik, både for sjov og for at udvikle hans logiske tænkning, og Leonard viste tidligt et talent for matematik.
Da Leonard voksede op, blev han bragt til sin bedstemors hus i Basel, hvor han gik på gymnasium (samtidig med at han fortsat studerede matematik med passion). I 1720 fik han lov til at deltage i offentlige forelæsninger på universitetet i Basel, hvor han tiltrak sig professor Johann Bernoullis (yngre bror til Jakob Bernoulli) opmærksomhed. Den berømte videnskabsmand sendte matematiske artikler til den unge matematiker til studier og tillod ham at besøge ham i sit hjem lørdag eftermiddag for at få afklaret vanskelige punkter.
Den 20. oktober 1720 blev den 13-årige Leonhard Euler student på det kunstvidenskabelige fakultet ved universitetet i Basel. Men hans kærlighed til matematikken førte Leonard ind på en anden vej. Ved et besøg hos sin lærer mødte Euler hans sønner Daniel og Nicholas, som også i familietraditionen studerede matematik indgående, og blev venner med dem. I 1723 modtog Euler (som det var kutyme ved universitetet i Basel) sin første pris (primam lauream). Den 8. juli 1724 holdt den 17-årige Leonhard Euler en tale på latin, hvor han sammenlignede Descartes’ og Newtons filosofiske synspunkter, og han blev tildelt en kandidatgrad.
I de næste to år skrev den unge Euler flere videnskabelige artikler. Et af dem, “Dissertation on Physics of Sound”, blev indsendt til en konkurrence om at besætte den uventet ledige stilling som professor i fysik ved universitetet i Basel (1725). Men på trods af den positive anmeldelse blev den 19-årige Euler anset for at være for ung til at blive optaget som kandidat til professoratet. På det tidspunkt var antallet af ledige videnskabelige stillinger i Schweiz meget lille. Så brødrene Daniel og Nikolai Bernoulli tog til Rusland, hvor videnskabsakademiet var ved at blive oprettet, og lovede at søge en stilling til Euler.
I den tidlige vinter 1726-1727 modtog Euler nyheder fra Sankt Petersborg: på anbefaling af Bernoulli-brødrene blev han inviteret til stillingen som lektor i fysiologi (denne afdeling var besat af D. Bernoulli) med en årlig løn på 200 rubler (Euler beholdt et brev til præsidenten for akademiet L.L. Blumentrost dateret 9. november 1726, hvor han takkede ham for at blive optaget i akademiet). Da Johann Bernoulli var en berømt læge, blev Leonhard Euler i Rusland som hans bedste elev også betragtet som læge. Euler udsatte imidlertid sin afrejse fra Basel til foråret og helligede de resterende måneder til seriøse studier af lægevidenskaberne, hvis dybtgående viden han senere skulle imponere sine samtidige. Endelig, den 5. april 1727, forlod Euler Schweiz for altid, selv om han beholdt sit schweiziske (Basel) statsborgerskab resten af sit liv.
Rusland (1727-1741)
Den 22. januar (2. februar) 1724 godkendte Peter I projektet om Petersborg-akademiet. Den 28. januar (8. februar 1724) udstedte senatet et dekret om oprettelsen af akademiet. Ud af 22 professorer og lektorer, der blev inviteret i de første år, optrådte der 8 matematikere, som også beskæftigede sig med mekanik, fysik, astronomi, kartografi, teori om skibsbygning, tjeneste for mål og vægt.
Euler (hvis rute fra Basel gik via Lübeck, Revel og Kronstadt) ankom til Sankt Petersborg den 24. maj 1727, få dage før kejserinde Katharina I, akademiets protektorinde, døde, og de lærde var fortvivlede og forvirrede. Euler fik hjælp til at vænne sig til sin nye plads af sine Basel-kolleger: akademikerne Daniil Bernoulli og Jakob Hermann; sidstnævnte var som professor på lærestolen for højere matematik fjernt beslægtet med den unge videnskabsmand og tilbød ham al slags protektion. Euler blev udnævnt til lektor i højere matematik (ikke fysiologi, som oprindeligt planlagt), selv om han forskede inden for fluid dynamik i Sankt Petersborg, fik en løn på 300 rubler om året og fik stillet en lejlighed til rådighed.
Euler blev flydende i russisk i løbet af få måneder efter sin ankomst til Sankt Petersborg.
I 1728 begyndte det første russiske videnskabelige tidsskrift, Commentaries of the St Petersburg Academy of Sciences (på latin), at blive udgivet. Allerede andet bind indeholdt tre artikler af Euler, og i de følgende år indeholdt næsten hvert nummer af den akademiske årbog flere af hans nye værker. I alt blev der i denne udgave offentliggjort mere end 400 artikler af Euler.
I september 1730 udløb kontrakterne med akademikerne J. Herman (lærestol for matematik) og H. B. Bilfinger (lærestol for eksperimentel og teoretisk fysik). Hermann (lærestol for matematik) og G. B. Bilfinger (lærestol for eksperimentel og teoretisk fysik). Daniil Bernoulli og Leonard Ayler blev godkendt til deres ledige stillinger, sidstnævnte fik op til 400 rubler i løn, og den 22. januar 1731 blev han officielt professor. Efter yderligere to år (1733) vendte Daniel Bernoulli tilbage til Schweiz, og Euler, der forlod fysikstolen, overtog hans plads og blev akademiker og professor i højere matematik med en løn på 600 rubler (Daniel Bernoulli fik dog dobbelt så meget).
Den 27. december 1733 giftede den 26-årige Leonhard Euler sig med sin jævnaldrende Katharina (tysk: Katharina Gsell), datter af den akademiske maler Georg Gsell (en schweizer fra Sankt Petersborg). Parret købte et hus på Neva-dæmningen, hvor de bosatte sig. Euler-familien fik 13 børn, men tre sønner og to døtre overlevede.
Den unge professor havde meget at lave: kartografi, alle slags undersøgelser, konsultationer for skibsbyggere og artillerister, udarbejdelse af uddannelsesmanualer, design af brandpumper osv. Han skulle endda udarbejde horoskoper, som Euler med al behørig taktfuldhed henviste til en af de ansatte astronomer. Alexander Pusjkin citerer en romantisk historie: angiveligt skulle Euler have sammensat et horoskop for en nyfødt prins John Antonovich (1740), men resultatet skræmte ham så meget, at han ikke viste det til nogen, og først efter den stakkels prins’ død fortalte han om det til grev K.G. Razumovsky. Autenticiteten af denne historiske anekdote er yderst tvivlsom.
I løbet af sin første periode i Rusland skrev han mere end 90 store videnskabelige artikler. En stor del af de akademiske “Notes” er fyldt med Eulers skrifter. Han holdt oplæg på videnskabelige seminarer, holdt offentlige foredrag og deltog i forskellige tekniske ordrer fra statslige organer. I løbet af 1730’erne ledede Euler arbejdet med kortlægning af det russiske imperium, som (efter Eulers afrejse i 1745) blev afsluttet med udgivelsen af landets atlas. Som N. I. Fuss berettede, fik akademiet i 1735 til opgave at udføre en presserende og meget besværlig matematisk beregning, og en gruppe akademikere bad om tre måneder, men Euler påtog sig arbejdet i tre dage – og klarede det selv; dog gik overbelastningen ikke sporløst over: han blev syg og mistede synet på højre øje. Euler selv tilskrev dog i et af sine breve tabet af sit øje til sit arbejde som korttegner i den geografiske afdeling på Akademiet.
Det to-binds værk Mekanikken, eller videnskaben om bevægelse, som blev udgivet i 1736, bragte Euler generel europæisk berømmelse. I denne monografi anvendte Euler med succes matematiske analysemetoder til den generelle løsning af problemer med bevægelse i et tomrum og i et modstandsdygtigt medium.
En af akademiets vigtigste opgaver var at uddanne huspersonale, og derfor blev der oprettet et universitet og et gymnasium under akademiet. På grund af den akutte mangel på lærebøger på russisk bad akademiet sine medlemmer om at udarbejde sådanne håndbøger. Euler udarbejdede på tysk en meget god “Håndbog i aritmetik”, som straks blev oversat til russisk og i flere år fungerede som primær lærebog. Oversættelsen af den første del blev i 1740 foretaget af Vasily Adodurov, den første russiske adjunkt ved akademiet og elev af Euler, i 1740.
Situationen blev forværret, da kejserinde Anna Ioannovna døde i 1740, og den unge Johannes VI blev erklæret kejser. “Noget farligt var ved at ske”, skrev Euler senere i sin selvbiografi. – Efter den ærværdige kejserinde Anna’s død under den efterfølgende regentperiode … begyndte situationen at præsentere sig som usikker. Under Anna Leopoldovnas regentperiode faldt Sankt Petersborg-akademiet faktisk endeligt i forfald. Euler begyndte at overveje muligheden for at vende hjem eller flytte til et andet land. Til sidst accepterede han et tilbud fra den preussiske kong Friedrich, som på meget gunstige vilkår inviterede ham til Berlins akademi til stillingen som direktør for dets matematiske afdeling. Akademiet var baseret på det preussiske kongelige selskab, der var grundlagt af Leibniz, men som på det tidspunkt var i en trist forfatning.
Preussen (1741-1766)
Euler indgav sin afskedsbegæring til ledelsen af Sankt Petersborg-akademiet:
Derfor er jeg tvunget til, både på grund af dårligt helbred og andre omstændigheder, at søge et mere behageligt klima og acceptere Hans Kongelige Preussiske Majestæts opfordring til mig. Derfor beder jeg det kejserlige videnskabsakademi om at være så venlig at afskedige mig og give mig og min familie det nødvendige pas til min rejse.
Den 29. maj 1741 blev der opnået tilladelse fra akademiet. Euler blev “frigivet” og bekræftet som æresmedlem af Akademiet med en løn på 200 rubler. I juni 1741 ankom den 34-årige Leonhard Euler med sin kone, to sønner og fire nevøer til Berlin. Han tilbragte 25 år der og udgav omkring 260 værker.
I begyndelsen blev Euler modtaget venligt i Berlin, og han blev endda inviteret til hofballer. Marquis Condorcet mindede om, at Euler kort efter at han var flyttet til Berlin blev inviteret til et hofbal. Da dronningemoderen spurgte ham, hvorfor han var så tilbageholdende, svarede Euler: “Jeg kommer fra et land, hvor den, der taler, bliver hængt.
Euler havde meget arbejde at gøre. Ud over matematisk forskning ledede han et observatorium og var involveret i mange praktiske sager, herunder fremstilling af kalendere (akademiets vigtigste indtægtskilde), prægning af preussiske mønter, anlæggelse af en ny vandledning og tilrettelæggelse af pensioner og lotterier.
I 1742 blev der udgivet en samling af Johann Bernoullis værker i fire bind. Da han sendte den fra Basel til Euler i Berlin, skrev den gamle videnskabsmand til sin elev: “Jeg har viet mig selv til den højere matematiks barndom. Du, min ven, vil fortsætte dens dannelse i modenhed.” I Berlin-perioden udkom det ene efter det andet af Eulers værker: “Introduktion til analyse af uendelige tal” (1748), “Havets videnskab” (1749), “Teori om månens bevægelse” (1753), “Vejledning i differentialregning” (Lat. Institutiones calculi differentialis, 1755). Talrige artikler om udvalgte emner blev trykt i publikationer fra Akademierne i Berlin og Sankt Petersborg. I 1744 opdagede Euler variationskalkulen. Hans værker anvender en udførlig terminologi og matematiske symboler, som stort set har overlevet til i dag, og han bringer sin fremstilling op på niveau med praktiske algoritmer.
Gennem alle sine år i Tyskland holdt Euler kontakt med Rusland. Euler deltog i udgivelserne fra Sankt Petersborg-akademiet, købte bøger og instrumenter til det og redigerede de matematiske afsnit i russiske tidsskrifter. I hans lejlighed boede i årevis unge russiske videnskabsmænd, der var sendt til uddannelse, med fuld pension. Man kender til Eulers livlige korrespondance med M. V. Lomonosov; i 1747 gav han en positiv udtalelse til præsidenten for videnskabsakademiet, grev K. G. Razumovsky, om Lomonosovs artikler om fysik og kemi, idet han udtalte følgende:
Alle disse teser er ikke blot gode, men også meget fremragende, fordi han skriver om det materielle og kemiske meget nødvendige, som hidtil ikke var kendt og ikke kunne fortolkes af de klogeste mennesker, hvilket han gjorde med en sådan succes, at jeg er helt sikker på retfærdigheden af hans forklaringer. I dette tilfælde må man give Lomonosov æren for at have et fremragende talent for at fortolke fysiske og kemiske fænomener. Man må håbe, at de andre akademier vil være i stand til at frembringe sådanne åbenbaringer, som hr. Lomonosov har vist.
Dette høje skøn blev ikke forhindret af det faktum, at Lomonosov ikke skrev matematiske værker og ikke kendte til højere matematik. Ikke desto mindre afbrød Euler i 1755, som følge af Lomonosovs taktløshed, der uden Eulers tilladelse offentliggjorde sit private brev til støtte for ham, alle forbindelser med ham. Forbindelserne blev genoprettet i 1761, fordi Lomonosov lettede Eulers tilbagevenden til Rusland.
Hans mor meddelte Euler, at hans far var død i Schweiz (hun flyttede snart ind hos Euler (hun døde i 1761). I 1753 købte Euler en ejendom i Charlottenburg (en forstad til Berlin) med en have og en grund til at huse sin store familie.
Ifølge samtidige forblev Euler beskeden, munter, yderst sympatisk og altid parat til at hjælpe andre. Hans forhold til kongen fungerede imidlertid ikke: Frederik fandt den nye matematiker uudholdeligt kedelig, totalt usocial og behandlede ham med foragt. I 1759 døde Mauperthuis, præsident for Berlins videnskabsakademi og ven af Euler, i 1759. Kong Frederik II tilbød D’Alumbert posten som præsident for akademiet, men han afslog. Friedrich, der ikke kunne lide Euler, betroede ham alligevel ledelsen af Akademiet, men uden titlen som præsident.
Under Syvårskrigen betalte feltmarskal Saltykov straks sine tab tilbage, og senere sendte kejserinde Elisabeth yderligere 4.000 rubler fra sig selv.
I 1765 blev The The Theory of Motion of Solids udgivet, efterfulgt et år senere af Elements of Calculus of Variation. Det var her, at navnet på den nye afdeling af matematikken, som Euler og Lagrange skabte, optrådte første gang.
I 1762 besteg Katarina II den russiske trone og førte en oplyst enevældepolitik. Hun var klar over videnskabens betydning for statens fremskridt og for sin egen prestige og gennemførte en række vigtige ændringer i det offentlige uddannelses- og kultursystem til fordel for videnskaben. Kejserinden tilbød Euler ledelsen af en matematisk klasse, titlen som konferenciersekretær for akademiet og en løn på 1800 rubler om året. Og hvis du ikke kan lide det,” stod der i brevet til hendes repræsentant, “vil hun med glæde meddele sine betingelser, så længe du ikke tøver med at komme til Sankt Petersborg”.
Euler meddelte sine betingelser som svar:
Alle disse betingelser blev accepteret. Den 6. januar 1766 informerede Katarina grev Vorontsov:
Hr. Eulers brev til Dem har glædet mig meget, fordi jeg af det erfarer hans ønske om at vende tilbage til min tjeneste. Jeg finder ham naturligvis fuldstændig værdig til den ønskværdige titel som vicepræsident for Videnskabsakademiet, men der skal træffes nogle foranstaltninger, før jeg kan indføre titlen – jeg siger indføre den, da den hidtil ikke har eksisteret. I den nuværende situation er der ikke penge til lønnen på 3000 rubler, men for en mand af en sådan fortjeneste som hr. Euler vil jeg tilføje til den akademiske løn fra statens indtægter, som tilsammen udgør de nødvendige 3000 rubler… Jeg er sikker på, at mit akademi vil rejse sig fra asken af en så vigtig erhvervelse, og jeg lykønsker mig selv på forhånd med at have givet Rusland en stor mand tilbage.
Senere stillede Euler en række andre betingelser (en årlig pension på 1.000 rubler til hans kone efter hans død, kompensation for rejseudgifter, en plads til hans medicinske søn og en rang til Euler selv). Katarina opfyldte også disse betingelser fra Euler, bortset fra kravet om rang, idet hun i sjov sagde: “(i det franske udkast til brevet er den kollegiale rådgiver overstreget), hvis jeg ikke havde frygtet, at denne rang ville have gjort ham lig med så mange mennesker, som ikke var hr. Sandelig, hans berømmelse er bedre end den rang, der skal give ham den respekt, han fortjener”.
Euler anmodede kongen om at blive afskediget fra tjenesten, men fik intet svar. Han ansøgte igen – men Frederik var ikke engang villig til at diskutere spørgsmålet om hans afgang. Den russiske repræsentations insisterende andragender på kejserindens vegne gav Euler afgørende støtte. Den 2. maj 1766 gav Friedrich endelig den store videnskabsmand tilladelse til at forlade Preussen, selv om han ikke kunne lade være med at lave skældske vittigheder om Euler i sin korrespondance (således skrev han den 25. juli til D’Alamberto: “Herr Euler, som elskede den store og den lille vugge vanvittigt højt, flyttede tættere på nord for at kunne observere dem”). Han tjente ganske vist som oberstløjtnant af artilleriet (senere kunne han takket være Katarina II’s mellemkomst alligevel slutte sig til sin far og blev forfremmet til generalløjtnant i den russiske hær). I sommeren 1766 vendte Euler tilbage til Rusland – nu for bestandigt.
Rusland igen (1766-1783)
Den 17. (28.) juli 1766 ankom den 60-årige Euler med sin familie og husstand (i alt 18 personer) til den russiske hovedstad. Umiddelbart efter ankomsten blev han modtaget af kejserinden. Katarina II bød ham velkommen som en ærværdig person og overøste ham med tjenester: Hun bevilgede 8000 rubler til køb af et hus på Vasilievskij-øen og til indkøb af møbler, stillede for første gang en af sine kokke til rådighed og pålagde ham at forberede overvejelser om en reorganisering af akademiet.
Desværre udviklede Euler efter sin tilbagevenden til Sankt Petersborg grå stær på sit eneste tilbageværende venstre øje og blev snart permanent blind. Sandsynligvis af denne grund fik han aldrig den lovede post som vicepræsident for akademiet (hvilket ikke forhindrede Euler og hans efterkommere i at deltage i ledelsen af akademiet i næsten hundrede år). Blindheden påvirkede dog ikke videnskabsmandens arbejdsevne; han bemærkede blot, at han nu ville blive mindre distraheret af matematik. Før Euler anskaffede sig en sekretær, dikterede han sit arbejde til en tyk dreng, som skrev alt ned på tysk. Antallet af hans udgivne værker steg endda; under sit andet ophold i Rusland dikterede Euler mere end 400 artikler og 10 bøger, hvilket er mere end halvdelen af hans kreative arv.
I 1768-1770 udgav han sin klassiske monografi i to bind, Universal Arithmetic (også udgivet som Elements of Algebra og The Complete Course of Algebra). Dette værk blev først udgivet på russisk (1768-1769), og en tysk udgave udkom to år senere. Bogen blev oversat til mange sprog og blev genoptrykt omkring 30 gange (tre gange på russisk). Alle efterfølgende algebra-lærebøger var stærkt påvirket af Eulers bog.
I de samme år udgav han sin trebindsbog Dioptrica (1769-1771) om linsesystemer og den grundlæggende Institutiones calculi integralis (1768-1770), også i tre bind.
Eulers “Breve om forskellige fysiske og filosofiske spørgsmål, skrevet til en tysk prinsesse” (1768) blev meget populære i det 18. århundrede, og til dels også i det 19. århundrede. (1768), som havde mere end 40 oplag på 10 sprog (herunder 4 oplag på russisk). Det var en populærvidenskabelig encyklopædi med et stort omfang, skrevet på en levende og alment tilgængelig måde.
I 1771 indtraf to alvorlige begivenheder i Eulers liv. I maj var der en stor brand i Sankt Petersborg, som ødelagde hundredvis af bygninger, herunder huset og næsten alle Eulers ejendele. Videnskabsmanden selv blev kun med nød og næppe reddet. Alle manuskripter blev reddet fra branden; kun en del af hans “New Theory of Moon Motion” blev brændt, men den blev hurtigt genoprettet med hjælp fra Euler, der bevarede sin fænomenale hukommelse indtil sin høje alderdom. Euler måtte midlertidigt flytte til et andet hus. Den anden begivenhed: I september samme år ankom den berømte tyske øjenlæge Baron Wentzel på kejserindens særlige invitation til Sankt Petersborg for at behandle Euler. Efter en undersøgelse indvilligede han i at operere Euler og fjernede en grå stær fra hans venstre øje. Euler kunne se igen. Lægen foreskrev at holde hans øje fra skarpt lys, ikke at skrive, ikke at læse – bare gradvist at vænne sig til den nye tilstand. Men allerede få dage efter operationen tog Euler bandagen af og mistede snart synet igen. Denne gang for altid.
1772: “En ny teori om månens bevægelse”. Euler afsluttede endelig sit mangeårige arbejde ved at løse trekroppsproblemet tilnærmelsesvis.
I 1773 ankom Bernoulli’s elev Nikolaus Fuss fra Basel til Sankt Petersborg på anbefaling af Daniel Bernoulli. Dette var et stort held for Euler. Fuss, en begavet matematiker, tog sig straks efter sin ankomst af Eulers matematiske arbejde. Fuss giftede sig snart med Eulers barnebarn. I de næste ti år – indtil sin død – dikterede Euler overvejende sit arbejde til ham, selv om han undertiden brugte “sin ældste søns øjne” og sine andre elever. I samme år 1773 døde Eulers kone, som han havde levet sammen med i næsten 40 år. Hustruens død var et smertefuldt slag for videnskabsmanden, som var oprigtigt knyttet til sin familie. Euler giftede sig snart med Salome Abigail, halvsøster til sin afdøde kone.
General Spherical Trigonometry” blev udgivet i 1779 og var den første komplette redegørelse for hele systemet af sfærisk trigonometri.
Euler arbejdede aktivt indtil sine sidste dage. I september 1783 begyndte den 76-årige videnskabsmand at føle hovedpine og svaghed. Den 7. (18.) september, efter en middag med sin familie, hvor han talte med akademikeren A. I. Lexel om den nyopdagede planet Uranus og dens bane, følte han sig pludselig syg. Euler formåede at udtale sig: “Jeg er døende” og besvimede. Et par timer senere døde han af en hjerneblødning uden at komme til bevidsthed.
“Han holdt op med at regne og levede”, sagde Condorcet på et sørgeligt møde i Paris’ videnskabsakademi (fr. Il cessa de calculer et de vivre).
Han blev begravet på den lutherske kirkegård i Smolensk i Sankt Petersborg. Indskriften på monumentet på tysk lyder: “Her ligger resterne af den verdensberømte Leonhard Euler, vismand og retfærdig mand. Han blev født den 4. april 1707 i Basel og døde den 7. september 1783”. Efter Eulers død gik hans gravsted tabt og blev først fundet i 1830 i forladt tilstand. I 1837 erstattede videnskabsakademiet denne gravsten med en ny granitgravsten (som stadig står der) med indskriften på latin “Leonhard Euler – Academia Petropolitana” (lat. Leonhardo Eulero – Academia Petropolitana).
I forbindelse med fejringen af Eulers 250-års jubilæum (1957) blev den store matematikers aske overført til “Necropolis of the 18th century” på Lazarevsky-kirkegården på Alexander Nevsky Lavra, hvor den ligger tæt på M. V. Lomonosovs grav.
Euler efterlod sig vigtige værker inden for forskellige grene af matematik, mekanik, fysik, astronomi og en række anvendte videnskaber. Eulers viden var encyklopædisk; ud over matematik studerede han botanik, medicin, kemi, musikteori og mange europæiske og gamle sprog.
Euler deltog villigt i videnskabelige diskussioner, som han var bedst kendt for:
I alle de nævnte tilfælde støttes Eulers holdning af den moderne videnskab.
Matematik
Inden for matematikken er det 18. århundrede Eulers tidsalder. Mens de matematiske fremskridt før ham var spredte og ikke altid sammenhængende, forbandt Euler for første gang analyse, algebra, geometri, trigonometri, talteori og andre discipliner i et samlet system, samtidig med at han tilføjede mange af sine egne opdagelser. Meget af matematikken er siden da blevet undervist “ifølge Euler” næsten uændret.
Takket være Euler omfattede matematikken den generelle teori om serier, den grundlæggende “Euler-formel” i teorien om komplekse tal, modulo-sammenligningsoperationen, den komplette teori om kontinuerlige brøker, det analytiske grundlag for mekanikken, talrige teknikker til integration og løsning af differentialligninger, tallet e, notationen i for en imaginær enhed, en række specielle funktioner og meget mere.
Faktisk var det Euler, der skabte flere nye matematiske discipliner – talteori, variationsregning, teori om komplekse funktioner, differentiale geometri af overflader; han lagde grundlaget for teorien om specielle funktioner. Blandt hans andre arbejdsområder kan nævnes diophantineanalyse, matematisk fysik, statistik osv.
Videnskabshistorikeren Clifford Truesdell skrev: “Euler var den første videnskabsmand i den vestlige civilisation, der skrev om matematik i et klart og letlæseligt sprog”. Biografer påpeger, at Euler var en virtuos algoritmiker. Han forsøgte altid at bringe sine opdagelser op på et niveau, der svarer til specifikke beregningsmetoder, og han var en mester i numeriske beregninger. J. Condorcet fortalte, at to studerende, der uafhængigt af hinanden foretog komplekse astronomiske beregninger, engang opnåede lidt forskellige resultater i det 50. tegn og henvendte sig til Euler for at få hjælp. Euler foretog de samme beregninger i sit hoved og gav det korrekte resultat.
П. L. Chebyshev skrev: “Euler var begyndelsen på alle de undersøgelser, der udgør den generelle talteori”. De fleste matematikere i det 18. århundrede var beskæftiget med udviklingen af analyse, men Euler bar passionen for den gamle aritmetik gennem hele sit liv. Takket være hans skrifter blev interessen for talteori genoplivet mod slutningen af århundredet.
Euler fortsatte Fermats forskning, som tidligere (under indflydelse af Diophantus) havde opstillet en række spredte hypoteser om naturlige tal. Euler beviste disse hypoteser stringent, generaliserede dem betydeligt og kombinerede dem til en meningsfuld talteori. Han introducerede den yderst vigtige “Euler-funktion” i matematikken og brugte den til at formulere “Eulers sætning”. Han modbeviste Fermats hypotese om, at alle tal af formen F n = 2 2 n + 1 {displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} – {display} er enkle; det viser sig, at F 5 {displaystyle F_{5}}} {displaystyle F_{5}}} er delbar med 641. Beviste Fermats udsagn om repræsentation af et ulige primtal som en sum af to kvadrater. Gav en af løsningerne til fireterningsproblemet. Beviste, at Mersenne-tallet 2 31 – 1 = 2147483647 {displaystyle 2^{31}-1=2147483647} – er et primtal; i næsten hundrede år (indtil 1867) var det det det største kendte primtal.
Euler skabte grundlaget for teorien om sammenligninger og kvadratiske afledninger, idet han specificerede kriteriet for opløselighed for sidstnævnte. Euler indførte begrebet initialrod og opstillede den hypotese, at der for ethvert primtal p findes en initialrod modulo p; han kunne ikke bevise det, men LeGendre og Gauss beviste senere sætningen. Eulers anden formodning, den kvadratiske gensidighedslov, der også blev bevist af Gauss, var af stor betydning for teorien. Euler beviste Fermats store sætning for n = 3 {displaystyle n = 3} и n = 4 {displaystyle n=4} , skabte en komplet teori om kontinuerte brøker, undersøgte forskellige klasser af diffeomorfe ligninger og teorien om opdeling af tal i termer.
I problemet om antallet af delinger af et naturligt tal n {displaystyle n} fik formlen, der udtrykker den afledte funktion af antallet af partitioner p ( n ) {displaystyle p(n)} {display p(n ) gennem det uendelige produkt af
Euler definerede zetafunktionen, en generalisering af denne blev senere kaldt Riemann:
hvor s {displaystyle displaystyle s} er et reelt tal (i Riemann er det komplekst). Euler udledte en dekomposition for det:
hvor produktet er taget over alle primtal p {displaystyle displaystyle p} . På denne måde opdagede han, at det i talteorien er muligt at anvende metoder fra matematisk analyse, hvilket gav anledning til analytisk talteori, som er baseret på Eulers identitet og den generelle metode for afledte funktioner.
Et af Eulers vigtigste bidrag til videnskaben var hans monografi “Introduction to the Analysis of Infinitesimals” (1748). I 1755 udkom den supplerede “Differential Calculus”, og i 1768-1770 blev der udgivet tre bind af “Integral Calculus”. Samlet set er der tale om et grundlæggende, velillustreret kursus med en udførlig terminologi og symbolik. “Man kan roligt sige, at godt halvdelen af det, der nu undervises i kurser i højere algebra og højere analyse, findes i Eulers skrifter” (N. N. Luzin). Euler var den første til at give en systematisk teori om integration og de teknikker, der anvendes i den. Han er især ophavsmand til den klassiske metode til integration af rationelle funktioner ved at dekomponere dem i simple brøker og metoden til løsning af differentialligninger af vilkårlig orden med konstante koefficienter.
Euler har altid lagt særlig vægt på metoder til løsning af differentialligninger – både almindelige og partielle derivater, idet han har opdaget og beskrevet vigtige klasser af integrerbare differentialligninger. Han udarbejdede Eulers metode med brudte linjer (1768), den numeriske metode til løsning af systemer af ordinære differentialligninger. Sammen med A. C. Clero udledte han betingelser for integrabilitet af lineære differentialligninger med to eller tre variable (1739). Han opnåede seriøse resultater i teorien om elliptiske funktioner, herunder de første sætninger om addition af elliptiske integraler (1761). Han var den første til at undersøge maksima og minima af funktioner med mange variabler.
Grundlaget for de naturlige logaritmer har været kendt siden Neper og Jacob Bernoulli, men Euler gennemførte en så dybtgående undersøgelse af denne vigtige konstant, at den har været opkaldt efter ham lige siden. En anden konstant, som han studerede: Euler-Mascheroni-konstanten.
Den moderne definition af de eksponentielle, logaritmiske og trigonometriske funktioner er også hans fortjeneste, ligesom deres symbolik og generalisering til det komplekse tilfælde. De formler, der i lærebøgerne ofte omtales som “Cauchy-Riemann-betingelser”, burde rettelig kaldes “D’Alambert-Euler-betingelser”.
Han deler med Lagrange æren af at have opdaget variationsregning ved at skrive Euler-Lagrange-ligningerne for det generelle variationsproblem ud. I 1744 udgav Euler sin afhandling “Method of finding curves…” – det første værk om variationsregning (det indeholdt bl.a. den første systematiske fremstilling af teorien om elastiske kurver og resultater om materialers modstandskraft).
Euler udviklede teorien om serier betydeligt og udvidede den til det komplekse område og gav den berømte Euler-formel, som giver den trigonometriske repræsentation af et komplekst tal. Den matematiske verden var meget imponeret over de serier, som Euler først opsummerede, herunder den omvendte kvadratiske serie, som ingen havde været i stand til at gøre før ham:
Euler brugte serier til at studere transcendentale funktioner, dvs. de funktioner, som ikke udtrykkes ved en algebraisk ligning (f.eks. den integrale logaritme). Han opdagede (1729-1730) “Euler-integralerne” – særlige funktioner, som nu er kommet ind i videnskaben som gamma- og beta-Euler-funktioner. I 1764, da han løste problemet om svingningerne i en elastisk membran (som havde sit udspring i bestemmelsen af lydhøjden i pauker), var Euler den første til at indføre Bessel-funktionerne for ethvert naturligt indeks (forskningen af F. W. Bessel, hvis navn disse funktioner nu bærer, går tilbage til 1824).
Set fra et senere synspunkt kan Eulers handlinger med uendelige serier ikke altid betragtes som korrekte (retfærdiggørelsen af analysen blev først gennemført et halvt århundrede senere), men hans fænomenale matematiske intuition gav ham næsten altid det rigtige resultat. I mange vigtige henseender var hans indsigt imidlertid forud for sin tid – f.eks. tjente hans foreslåede generaliserede forståelse af summen af divergerende serier og operationer med dem som grundlag for den moderne teori om disse serier, der blev udviklet i slutningen af det 19. og begyndelsen af det 20. århundrede.
I elementær geometri opdagede Euler flere kendsgerninger, som Euklid ikke havde bemærket:
Andet bind af Introduction to the Analysis of Infinitesimals (1748) var verdens første lærebog om analytisk geometri og grundlaget for differentialgeometri. Euler gav en klassifikation af algebraiske kurver af 3. og 4. orden samt overflader af anden orden. Udtrykket “affine transformationer” blev første gang introduceret i denne bog sammen med teorien om sådanne transformationer. I 1732 udledte Euler den generelle ligning for geodætiske linjer på en overflade.
I 1760 blev den grundlæggende undersøgelse af overfladernes krumning offentliggjort. Euler opdagede, at der i hvert punkt på en glat overflade er to normale snit med minimal og maksimal krumningsradius, og at deres planer er vinkelrette på hinanden. Han udledte en formel for forholdet mellem krumningen af overfladen sektion og de vigtigste krumninger.
I 1771 udgav Euler sit værk “On bodies whose surface can be unfolded onto a plane”. I dette værk introduceres begrebet en udfoldelig overflade, dvs. en overflade, der kan lægges oven på et plan uden folder eller afbrydelser. Euler giver dog her en ganske generel teori om metrik, som hele overfladens indre geometri afhænger af. Senere gør han studiet af metrikker til det vigtigste redskab i overfladeteorien.
I forbindelse med kartografiopgaverne undersøgte Euler konforme afbildninger i dybden og anvendte for første gang værktøjerne i kompleks analyse.
Euler var meget opmærksom på repræsentationen af naturlige tal som summer af en særlig art og formulerede en række teoremer til beregning af antallet af partitioner. Ved løsning af kombinatoriske problemer studerede han indgående egenskaberne ved kombinationer og permutationer og indførte Euler-tallene.
Euler undersøgte algoritmer til konstruktion af magiske kvadrater ved hjælp af skak-hestetraversal. To af hans værker (1776, 1779) lagde grunden til den generelle teori om latinske og græsk-latinske kvadrater, hvis store praktiske værdi blev tydelig efter Ronald Fisher skabte metoder til planlægning af eksperimenter samt i teorien om fejlkorrigerende koder.
Eulers artikel “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” fra 1736 markerede begyndelsen på grafteori som en matematisk disciplin. Problemet med broer i Königsberg opstod som udgangspunkt for undersøgelsen: Kan man krydse hver bro én gang og vende tilbage til udgangspunktet? Euler formaliserede det ved at reducere det til problemet om eksistensen i en graf (hvis hjørner svarer til de dele af byen, der er adskilt af grene af floden Pregolya, og hvis kanter svarer til broer) af en cyklus eller en sti, der passerer gennem hver kant præcis én gang (i moderne terminologi henholdsvis en eulersk cyklus og en eulersk sti). Ved at løse sidstnævnte problem viste Euler, at for at der kan eksistere en eulersk cyklus i en graf, skal dens grad (antallet af kanter, der forlader toppunktet) være lige for hvert toppunkt, og den eulerske sti skal være lige for alle undtagen to (i problemet om Königsberg-broerne er dette ikke tilfældet: graderne er 3, 3, 3 og 5).
Euler ydede et væsentligt bidrag til teorien og metoderne for tilnærmet beregning. Han var den første til at anvende analytiske metoder på kartografi. Han foreslog en praktisk metode til grafisk repræsentation af relationer og operationer på mængder, kaldet Euler-cirkler (eller Euler-Vennes).
Mekanik og fysik
Mange af Eulers værker omhandler forskellige grene af mekanikken og fysikken. Med hensyn til Eulers centrale rolle i udformningen af mekanikken til en eksakt videnskab skrev C. Truesdell: “Mekanikken, som den i dag undervises af ingeniører og matematikere, er i vid udstrækning hans skabelse”.
I 1736 udkom Eulers to-binds afhandling “Mekanik eller bevægelsesvidenskaben i analytisk form”, som markerede et nyt stadium i udviklingen af denne gamle videnskab og var helliget dynamikken i det materielle punkt. I modsætning til grundlæggerne af denne gren af dynamikken, Galilei og Newton, som anvendte geometriske metoder, foreslog den 29-årige Euler en regelmæssig og ensartet analytisk metode til løsning af forskellige dynamiske problemer: udarbejdelse af differentialligninger for et materielt objekts bevægelse og deres efterfølgende integration under givne begyndelsesbetingelser.
Det første bind af afhandlingen omhandler bevægelsen af et frit materielt punkt, det andet – af et proprietært punkt, og bevægelsen i et tomrum såvel som i et modstandsdygtigt medium undersøges. Ballistikproblemerne og pendulteorien behandles særskilt. Her skriver Euler for første gang differentialligningen for et punkts retlinede bevægelse ned, og for det generelle tilfælde af krumlinet bevægelse introducerer han de naturlige bevægelsesligninger – ligninger i projektioner på akserne af den ledsagende trihedre. I mange konkrete problemer han fuldfører integration af bevægelsesligninger op til slutningen; i de tilfælde af punkt bevægelse uden modstand han systematisk bruger den første integral af bevægelsesligningerne – integralet af energi. I andet bind præsenteres i forbindelse med problemet om et punkts bevægelse på en vilkårligt krum overflade den differentielle geometri af overflader skabt af Euler.
Euler vendte senere tilbage til dynamikken i et materielt punkt. I 1746, da han undersøgte bevægelsen af et materielt punkt på en bevægelig overflade, kom han (samtidig med D. Bernoulli og P. Darcy) til sætningen om ændringen af vinkelbevægelsen. I 1765 skrev Euler, der benyttede sig af en idé fremsat i 1742 af C. McLaren om ekspansion af hastigheder og kræfter langs tre faste koordinatakser, for første gang differentialligningerne for et materielt punkts bevægelse i projektioner på de kartesiske faste akser.
Sidstnævnte resultat blev offentliggjort af Euler i hans anden grundlæggende afhandling om analytisk dynamik – bogen “Theory of motion of solids” (1765). Dens hovedindhold er imidlertid viet til en anden del af mekanikken – faststoffernes dynamik, som Euler var grundlægger af. Afhandlingen indeholder især afledningen af et system af seks differentialligninger for bevægelsen af et frit fast legeme. Sætningen om reduktionen af systemet af kræfter på et fast legeme til to kræfter, som er anført i § 620 i afhandlingen, er vigtig for statikken. Ved at projicere betingelserne for lighed af disse kræfter til nul på koordinatakserne, Euler for første gang opnår de ligninger af ligevægt af et fast legeme under virkningen af en vilkårlig rumlig system af kræfter.
En række af Eulers grundlæggende resultater vedrørende kinematik af faste legemer (kinematik var endnu ikke blevet identificeret som en separat gren af mekanikken i det 18. århundrede) er også anført i afhandlingen fra 1765. Blandt dem kan vi fremhæve Eulers formler for fordelingen af hastighederne i punkterne på et absolut fast legeme (vektorækvivalenten til disse formler er den kinematiske Euler-formel) og de kinematiske Euler-ligninger, som giver de afledte Euler-vinkler (der i mekanikken anvendes til at angive orienteringen af et fast legeme) gennem projektioner af vinkelhastigheder på koordinatakser.
Ud over denne afhandling har to tidligere værker af Euler betydning for faste legemers dynamik: “Studier om den mekaniske viden om legemer” og “Den roterende bevægelse af faste legemer omkring en variabel akse”, som blev forelagt Berlins videnskabsakademi i 1758, men som blev offentliggjort i dets “Notes” senere (i samme år 1765 som afhandlingen). I dem: teorien om inertimomenter blev udviklet (fastslog eksistensen af mindst tre frie rotationsakser i ethvert stift legeme med et fast punkt; de dynamiske Euler-ligninger, der beskriver dynamikken i et stift legeme med et fast punkt, blev opnået; en analytisk løsning af disse ligninger blev givet i tilfælde af nul ydre kraft hovedmoment (Euler-tilfældet) – et af tre generelle tilfælde af integrabilitet i problemet med dynamikken i et stift fast legeme med et fast punkt.
I artiklen “General formulae for arbitrary displacement of a rigid body” (1775) formulerer og beviser Eulers fundamentale rotationsteorem, hvorefter arbitrær forskydning af et absolut stift legeme med et fast punkt er en rotation med en vis vinkel omkring en akse, der går gennem det faste punkt.
Euler er krediteret for den analytiske formulering af princippet om mindste virkning (foreslået i 1744 – i en meget uklar form – af P. L. Mauperthuis), den korrekte forståelse af betingelserne for anvendelse af princippet og dets første bevis (udført i samme år 1744 for et materielt punkt, der bevæger sig under påvirkning af en central kraft). Virkningen her (den såkaldte forkortede virkning og ikke den Hamiltonske virkning) med hensyn til systemet af materielle punkter forstås som integralet
hvor A {displaystyle A} и B {displaystyle B} – to konfigurationer af systemet, m i , v i {displaystyle m_{i},;v_{i}} и d s i {displaystyle mathrm {d} s_{i}} – henholdsvis masse, algebraisk hastighed og bueelement i banen i {displaystyle i} -te punkt, n {displaystyle n} – er antallet af punkter.
Som et resultat, Mauperthuis-Euler princippet, den første i en række integrale variational principper for mekanik, indtastet videnskab; senere blev det generaliseret af J. L. Lagrange, og er nu normalt behandles som en af de former (Mauperthuis-Euler form, betragtes sammen med Lagrange form og Jacobi form) af Mauperthuis-Lagrange princippet. På trods af hans definerende bidrag, i den diskussion, der opstod omkring princippet om mindste aktion Euler stærkt forsvaret prioriteringen af Mauperthuis og påpegede den grundlæggende betydning af dette princip i mekanik. Denne idé tiltrak sig opmærksomhed fra fysikere, som i det 19. og 20. århundrede opdagede den grundlæggende rolle, som variationsprincipper spiller i naturen, og som anvendte den variationelle tilgang i mange dele af deres videnskab.
En række af Eulers værker omhandler mekanikken i maskiner. I sit memorandum “On the most profitable application of simple and complex machines” (1747) foreslog Euler at studere maskiner ikke i en tilstand af hvile, men i en tilstand af bevægelse. Denne nye, “dynamiske” tilgang begrunder og udvikler Euler i sin afhandling “Om maskiner i almindelighed” (heri var han den første i videnskabshistorien til at påpege maskiners tre bestanddele, som i det 19. århundrede blev defineret som motorer, tandhjul og arbejdsdele). I sin afhandling “Principles of the Theory of Machines” (1763) viste Euler, at man ved beregning af maskiners dynamiske egenskaber i tilfælde af deres accelererede bevægelse ikke kun skal tage hensyn til nyttelastens trækkraft og inerti, men også til alle maskinkomponenternes inerti, og han gav (i forbindelse med hydrauliske motorer) et eksempel på en sådan beregning.
Euler var også involveret i anvendt maskinteori, såsom teorien om hydrauliske maskiner og vindmøller, studiet af friktion i maskindele og profilering af tandhjul (her begrundede og udviklede han den analytiske teori om involute tandhjul). I 1765 lagde han grundlaget for teorien om friktion i fleksible kabler og opnåede især Eulers formel til bestemmelse af kabelspændingen, som stadig anvendes til løsning af en række praktiske problemer (f.eks. til beregning af mekanismer med fleksible led).
Euler er også forbundet med den konsekvente indførelse af ideen om kontinuum i mekanikken, hvorefter et materielt legeme er repræsenteret, abstraheret fra dets molekylære eller atomare struktur, som et kontinuerligt kontinuerligt kontinuerligt kontinuerligt medium. Kontinuumsmodellen blev introduceret af Euler i hans memoirer “Discovery of a New Principle of Mechanics” (rapporteret i 1750 til Berlins videnskabsakademi og offentliggjort i dets “Memoirs” to år senere).
Forfatteren af memoiren baserede sin analyse på Eulers princip om materielle partikler, en sætning, som stadig citeres i mange lærebøger i mekanik og fysik (ofte uden at nævne Euler): et fast legeme kan modelleres med en vis grad af nøjagtighed ved at opdele det mentalt i tilstrækkeligt små partikler og behandle hver af dem som et materielt punkt. Ved hjælp af dette princip kan man udlede forskellige dynamiske relationer for et kontinuert legeme ved at skrive deres analogier for de enkelte materielle partikler (med Eulers ord “korpuskel”) og lægge dem sammen (i dette tilfælde ved at erstatte summeringen over alle punkterne med integration over volumenet af det område, som legemet fylder). Denne fremgangsmåde gjorde det muligt for Euler at undgå at anvende moderne integralregningsteknikker (som f.eks. Stiltjes-integralet), som endnu ikke var kendt i det 18. århundrede.
På grundlag af dette princip opnåede Euler – ved at anvende sætningen om ændring af impulsmomentet på et elementært materielt volumen – Eulers første bevægelseslov (senere kom også Eulers anden bevægelseslov frem – resultatet af anvendelsen af sætningen om ændring af impulsmomentet). Eulers bevægelseslove repræsenterede faktisk de grundlæggende bevægelseslove for kontinuumsmekanikken; det eneste, der manglede for at kunne gå over til de i dag anvendte generelle bevægelsesligninger for sådanne medier, var udtrykket af overfladekræfter gennem spændingstensorerne (dette blev gjort af O. Cauchy i 1820’erne). Euler anvendte de opnåede resultater til studiet af specifikke modeller af faste legemer – både i dynamikken af faste legemer (det var i de nævnte memoirer, at ligningerne for dynamikken af et legeme med et fast punkt, der er henvist til vilkårlige kartesiske akser, blev givet for første gang), og i hydrodynamikken og i teorien om elasticitet.
I teorien om elasticitet er en række af Eulers studier afsat til teorien om bøjning af bjælker og stænger; i sine tidlige værker (1740’erne) løste han problemet med langsgående bøjning af en elastisk stang, idet han opstillede og løste differentialligningen for den bøjede akse af stangen. I 1757 var Euler den første i historien, der i sit værk “On the loading of columns” udledte en formel for den kritiske belastning i kompression af en elastisk stang, hvilket gav anledning til teorien om stabilitet af elastiske systemer. Den praktiske anvendelse af denne formel kom først langt senere, næsten et århundrede senere, da mange lande (primært England) begyndte at bygge jernbaner, hvilket krævede beregning af jernbanebroers styrke; det var på dette tidspunkt, at ingeniørerne – efter en vis forfinelse – overtog Eulers model.
Euler er – sammen med D. Bernoulli og J. L. Lagrange – en af grundlæggerne af den analytiske væskedynamik; han er her krediteret for at have skabt teorien om bevægelsen af en ideel væske (dvs. en væske uden viskositet) og for at have løst nogle specifikke problemer inden for væskemekanikken. I “Principles of motion of fluids” (offentliggjort ni år senere) anvendte han sine dynamiske ligninger for et elementært materielt volumen af et kontinuerligt medium på modellen af en inkompressibel perfekt væske og opnåede for første gang for en sådan væske bevægelsesligningerne samt (for det generelle tredimensionelle tilfælde) kontinuitetsligningen for en sådan væske. Ved at studere den hvirvelløse bevægelse af en inkompressibel væske indførte Euler funktionen S {displaystyle S} (senere kaldet hastighedspotentialet af Helmholtz) og viste, at den opfylder en partiel differentialligning – således kom ligningen, der nu er kendt som Laplace-ligningen, ind i videnskaben.
Resultaterne af dette arbejde blev i høj grad generaliseret af Euler i hans afhandling “General Principles of Motion of Fluids” (1755). Her præsenterede han – allerede for en kompressibel ideel væske – kontinuitetsligningen og bevægelsesligningerne (tre skalare differentialligninger, som i vektorform svarer til Euler-ligningen – den grundlæggende ligning for hydrodynamikken for en ideel væske). Euler påpegede, at for at lukke dette system af fire ligninger er det nødvendigt med en konstitutiv relation, der gør det muligt at udtrykke trykket p {displaystyle p} (som Euler kaldte “elasticitet”) som en funktion af densiteten q {displaystyle q} og “en anden egenskab r {displaystyle r} {displaystyle r}, som påvirker elasticiteten” (faktisk var der tale om temperaturen). Euler diskuterede muligheden for eksistensen af ikke-potentielle bevægelser i en inkompressibel væske og gav det første konkrete eksempel på en hvirvelstrømning, og for potentielle bevægelser i en sådan væske fik han det første integral – et specialtilfælde af det nu kendte Lagrange-Cauchy-integral.
Samme år udkom Eulers memoir “General Principles of the Equilibrium State of Liquids”, som indeholdt en systematisk præsentation af hydrostatikken i en ideel væske (herunder afledning af den generelle ligning af ligevægt for væsker og gasser) og udledte en barometrisk formel for en isotermisk atmosfære, som også stammer fra det år.
I de ovennævnte papirer skrev Euler bevægelses- og ligevægtsligninger for en væske og tog som uafhængige rumlige variabler de kartesiske koordinater for den aktuelle position af en materiel partikel – Euler-variabler (D’Alambert var den første til at bruge sådanne variabler i hydrodynamikken). Senere, i “Om principper for bevægelse af væsker. Section Two” (1770) introducerede Euler den anden form af hydrodynamikkens ligninger, hvor de kartesiske koordinater for en stofpartikels position i det indledende øjeblik (nu kendt som Lagrange-variabler) blev taget som uafhængige rumlige variabler.
Euler samlede de vigtigste resultater på dette område i et trebindsværk Dioptrica (latin: Dioptrica, 1769-1771). Blandt de vigtigste resultater: regler for beregning af de optimale egenskaber for refraktorer, reflektorer og mikroskoper, beregning af den største billedlysstyrke, det største synsfelt, den korteste instrumentlængde, den største forstørrelse og okularets egenskaber.
Newton hævdede, at det grundlæggende er umuligt at skabe en akromatisk linse. Euler hævdede, at en kombination af materialer med forskellige optiske egenskaber kunne løse problemet. I 1758 lykkedes det efter en lang polemik Euler at overbevise den engelske optiker John Dollond, som derefter fremstillede den første akromatiske linse ved at forbinde to linser af glas af forskellig sammensætning med hinanden, og i 1784 byggede akademikeren F. Epinus i Sankt Petersborg verdens første akromatiske mikroskop.
Astronomi
Euler arbejdede intensivt inden for himmelmekanikken. En af de presserende opgaver på det tidspunkt var at bestemme parametrene for et himmellegemes bane (f.eks. en komet) ud fra et lille antal observationer. Euler forbedrede de numeriske metoder til dette formål betydeligt og anvendte dem praktisk ved bestemmelsen af kometens elliptiske bane i 1769; disse arbejder blev anvendt af Gauss, som gav den endelige løsning på problemet.
Euler lagde grundlaget for perturbationsteorien, som senere blev fuldendt af Laplace og Poincaré. Han introducerede det grundlæggende begreb om de svingende elementer i en bane og udledte de differentialligninger, der bestemmer deres ændring med tiden. Han konstruerede teorien om præcession og nutation af Jordens akse og forudsagde den “frie bevægelse af Jordens poler”, som blev opdaget et århundrede senere af Chandler.
I 1748-1751 udgav Euler en komplet teori om lysaberration og parallakse. I 1756 offentliggjorde han differentialligningen for astronomisk brydning og undersøgte brydningens afhængighed af tryk og temperatur på observationsstedet. Disse resultater havde en enorm indflydelse på udviklingen af astronomien i de følgende år.
Euler opstillede en meget præcis teori om Månens bevægelse og udviklede en særlig metode til variation af de orbitale elementer til dette formål. I det 19. århundrede blev denne metode senere udvidet og anvendt til modeller af de store planeters bevægelse, og den anvendes stadig i dag. Mayers tabeller, der blev beregnet på grundlag af Eulers teori (1767), viste sig også at være velegnede til at løse det presserende problem med bestemmelse af længdegrad til søs, og det engelske admiralitet betalte Mayer og Euler en særlig pris for dette. Eulers vigtigste værker på dette område:
Euler undersøgte gravitationsfeltet for ikke kun sfæriske, men også ellipsoide legemer, hvilket var et stort fremskridt. Han var også den første videnskabsmand, der påpegede den sekulære forskydning i hældningen af ekliptikaplanet (1756), og på hans forslag er hældningen i begyndelsen af 1700 siden blevet vedtaget som reference. Han udviklede grundlaget for teorien om bevægelsen af Jupiters satellitter og andre stærkt komprimerede planeter.
I 1748, længe før P.N. Lebedevs arbejde, opstillede Euler en hypotese om, at komethaler, auroraer og stjernetegnens lys har det til fælles, at solstrålingens virkning på himmellegemernes atmosfære eller stof er fælles for dem.
Musikteori
Gennem hele sit liv var Euler interesseret i musikalsk harmoni og stræbte efter at give den et klart matematisk grundlag. Formålet med hans tidlige værk Tentamen novae theoriae musicae (Tentamen novae theoriae musicae, 1739) var at beskrive matematisk, hvordan behagelig (euforisk) musik adskiller sig fra ubehagelig (ubehagelig) musik. I slutningen af kapitel VII i “Experience” inddelte Euler intervaller i “grader af behagelighed” (gradus suavitatis), hvor oktaven blev tildelt II (nogle klasser (bl.a. første, tredje og sjette klasse) i Eulers behagelighedstabel blev udeladt. Der var en vittighed om dette værk, at det indeholdt for meget musik for matematikere og for meget matematik for musikere.
I sine sene år, i 1773, holdt Euler en afhandling på Videnskabsakademiet i Sankt Petersborg, hvor han formulerede sin gitterformede fremstilling af lydsystemet i sin endelige form; denne fremstilling blev metaforisk betegnet af forfatteren som “musikkens spejl” (lat. speculum musicae). Året efter blev Eulers afhandling udgivet som en lille afhandling De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis (“Om harmoniens sande grundlag, præsenteret gennem speculum musicae”). Under navnet Tonnetz blev det eulerske gitter anvendt i vid udstrækning i det 19. århundredes tyske musikteori.
Andre vidensområder
I 1749 udgav Euler en to-binds monografi, “The Science of the Sea, or a Treatise on Shipbuilding and Ship Navigation”, hvori han anvendte analytiske metoder på de praktiske problemer i forbindelse med skibsbygning og navigation til søs, f.eks. skibsform, spørgsmål om stabilitet og ligevægt og metoder til at kontrollere skibsbevægelser. Krylovs generelle teori om skibsstabilitet er baseret på “Marine Science”.
Eulers videnskabelige interesser omfattede også fysiologi; især anvendte han hydrodynamikkens metoder til at studere principperne for blodets strømning i karrene. I 1742 sendte han en artikel om strømning af væsker i elastiske rør (der betragtes som modeller af kar) til akademiet i Dijon, og i december 1775 forelagde han for videnskabsakademiet i Sankt Petersborg en afhandling med titlen Principia pro motu sanguines per arteria determinando (Principper for bestemmelse af blodets bevægelse gennem arterier). Dette værk analyserede de fysiske og fysiologiske principper for blodets bevægelse forårsaget af periodiske sammentrækninger af hjertet. Ved at behandle blodet som en inkompressibel væske fandt Euler en løsning på de bevægelsesligninger, som han opstillede for stive rør, og i tilfælde af elastiske rør begrænsede han sig til at udlede generelle ligninger for endeløs bevægelse.
En af de vigtigste opgaver, som Euler fik pålagt ved sin ankomst til Rusland, var at uddanne videnskabeligt personale. Blandt Eulers direkte elever:
En af Eulers prioriteter var udarbejdelsen af lærebøger. Han skrev selv “The Manual of Arithmetic for use in the gymnasium of the Imperial Academy of Sciences” (1738-1740), “Universal Arithmetic” (1768-1769). Euler tyede ifølge Fuss til en original metode – han dikterede lærebogen til en drengetjener og holdt øje med, hvordan han forstod teksten. Resultatet var, at drengen lærte at løse problemer og udføre beregninger selvstændigt
Euler er opkaldt efter ham:
Eulers samlede værker, der siden 1909 er blevet udgivet af det schweiziske naturvidenskabelige selskab, er stadig ufuldstændige; der var planlagt 75 bind, hvoraf 73 blev udgivet:
Otte yderligere bind vil blive afsat til Eulers videnskabelige korrespondance (over 3.000 breve).
I 1907 fejrede russiske og mange andre videnskabsmænd den store matematikers 200-års fødselsdag, og i 1957 dedikerede de sovjetiske og berlinske videnskabsakademier højtidelige møder til hans 250-års fødselsdag. På tærsklen til Eulers 300-års fødselsdag (2007) blev der afholdt et internationalt jubilæumsforum i Skt. Petersborg, og der blev lavet en film om Eulers liv. Samme år blev der afsløret et monument over Euler ved indgangen til det internationale Euler-institut i Skt. Petersborgs myndigheder afviste imidlertid alle forslag om at opkalde en plads eller en gade efter videnskabsmanden; der findes stadig ingen Euler-gade i Rusland.
Personlige kvaliteter og karakterer
Ifølge hans samtidige var Euler godhjertet, mild af karakter og havde næsten ingen skænderier med nogen. Selv Johann Bernoulli, hvis hårde karakter hans bror Jacob og hans søn Daniel oplevede, var ufravigeligt varm mod ham. Euler havde kun brug for én ting for at få livets fylde – muligheden for regelmæssig matematisk kreativitet. Han kunne arbejde intensivt selv “med et barn på skødet og en kat på ryggen”. Samtidig var Euler munter og omgængelig, han elskede musik og filosofiske samtaler.
Akademiker P.P. Pekarsky rekonstruerede på baggrund af vidnesbyrd fra Eulers samtidige et billede af den lærde: “Euler havde den store kunst ikke at prale med sin lærdom, at skjule sin overlegenhed og at være på alles niveau. Altid et jævnt humør, en blid og naturlig munterhed, en smule spydighed med et strejf af godmodighed, naiv og humoristisk samtale – alt dette gjorde samtalen med ham lige så behagelig som attraktiv.
Euler var meget religiøs, som hans samtidige bemærkede. Ifølge Condorcet samlede Euler hver aften sine børn, tjenere og elever, som boede hos ham, for at bede. Han læste dem et kapitel fra Bibelen og ledsagede undertiden læsningen med en prædiken. I 1747 udgav Euler en afhandling til forsvar for kristendommen mod ateismen, “Defence of Divine Revelation against the Attacks of Free Thinkers” (Forsvar af den guddommelige åbenbaring mod fritænkeres angreb). Eulers fascination af teologiske ræsonnementer medførte en negativ holdning til ham (som filosof) hos hans berømte samtidige – D’Alembert og Lagrange. Frederik II, der betragtede sig selv som “fritænker” og korresponderede med Voltaire, sagde, at Euler “stank af præst”.
Euler var en omsorgsfuld familiefar, der var ivrig efter at hjælpe kolleger og unge mennesker og gavmildt delte sine idéer med dem. Det er velkendt, at Euler forsinkede sine publikationer om variationsregning, så den den dengang unge og ukendte Lagrange, som uafhængigt af hinanden var nået frem til de samme opdagelser, kunne offentliggøre dem først. Lagrange har altid beundret Euler både som matematiker og som menneske; han sagde: “Hvis du virkelig elsker matematik, så læs Euler”.
“Læs, læs Euler, han er vores fælles lærer”, som Laplace gerne gentog (Fr. Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous.). Eulers værker blev studeret med stort udbytte af “matematikkernes konge” Karl Friedrich Gauss og praktisk talt alle berømte videnskabsmænd fra det 18. og 19. århundrede.
D’Alambert kalder i et af sine breve til Lagrange Euler for “denne djævel” (frès se diable d’homme), som om han dermed ifølge kommentatorerne ville indikere, at det, Euler havde gjort, var uden for menneskelig magt.
М. V. Ostrogradsky udtalte i et brev til N. N. Fuss: “Euler skabte den moderne analyse, berigede den alene mere end alle hans efterfølgere tilsammen og gjorde den til det mest magtfulde instrument for den menneskelige fornuft”. Akademiker S. I. Vavilov skrev: “Sammen med Peter I og Lomonosov blev Euler vores akademis gode geni, som bestemte dets herlighed, dets fæstning, dets produktivitet.
Bopælsadresser
Mellem 1743 og 1766 boede Euler i huset på Berenstrasse 21
Fra 1766 boede Euler i en lejlighedsbygning på Nikolayevskaya Embankment 15 (med en afbrydelse forårsaget af en større brand). I sovjettiden blev gaden omdøbt til Løjtnant Schmidt-kajen. Der er en plakette på huset, og det huser nu en gymnasieskole.
Frimærker, mønter, pengesedler
I 2007 udstedte den russiske centralbank en jubilæumsmønt til minde om 300-året for L. Eulers fødsel. Eulers portræt blev også anbragt på den schweiziske 10 franc-seddel (serie 6) og på frimærker fra Schweiz, Rusland og Tyskland.
Olympiader i matematik
En stor del af de fakta inden for geometri, algebra og kombinatorik, som Euler beviste, anvendes universelt i olympiaden i matematik.
Den 15. april 2007 blev der afholdt en matematikolympiade på internettet for skolebørn i anledning af 300-årsdagen for Leonhard Eulers fødsel, som blev støttet af en række organisationer. Siden 2008 er der blevet afholdt Leonhard Euler-matematikolympiaden for ottendeklasser, som delvis skal erstatte tabet af de regionale og afsluttende faser af den all-russiske matematikolympiade for ottendeklasser.
Historikere har fundet lidt over tusind direkte efterkommere af Leonhard Euler. Den ældste søn, Johann Albrecht, blev en betydelig matematiker og fysiker. Anden søn Karl blev en berømt læge. Den yngste søn Christopher blev senere generalløjtnant i den russiske hær og chef for Sestroretsk våbenfabrik. Alle Eulers børn tog russisk statsborgerskab (Euler selv forblev schweizisk undersåt hele sit liv).
I slutningen af 1980’erne talte historikere omkring 400 levende efterkommere, hvoraf omkring halvdelen boede i Sovjetunionen.
Her er et kort genealogisk træ over nogle af Eulers kendte efterkommere (efternavnet er angivet, hvis det ikke er “Euler”).
Andre efterkommere af Euler omfatter N. I. Gekker, V. F. Gekker og I. R. Gekker, V. E. Scalon og E. N. Behrendts. Blandt efterkommerne er mange videnskabsmænd, geologer, ingeniører, diplomater og læger; der er også ni generaler og en admiral. En efterkommer af Euler er præsidenten for den internationale kriminologiklub i Sankt Petersborg, D.A. Shestakov.
Kilder
- Эйлер, Леонард
- Leonhard Euler
- История Императорской Академии Наук в Петербурге Петра Пекарского. Том второй. Издание отделения русского языка и словесности Императорской Академии Наук. Санкт-Петербург. Типография Императорской Академии Наук. 1873
- Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2015, S. 11.
- Leonhard Euler | Gemeindelexikon Riehen. Abgerufen am 19. Februar 2023.
- Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 448.
- Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. Leipzig, 1982. S. 16.
- Ioan James: Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. Cambridge, 2002, S. 2.
- ^ The pronunciation /ˈjuːlər/ YOO-lər is considered incorrect[2][3][4][5]
- a et b (en) William Dunham, Euler : The Master of Us All, Washington, MAA, 1999, 185 p. (ISBN 978-0-88385-328-3, lire en ligne), p. 17.
