Carl Friedrich Gauss

Sammanfattning

Johann Carl Friedrich Gauss (* 30 april 1777 i Braunschweig, furstendömet Braunschweig-Wolfenbüttel; † 23 februari 1855 i Göttingen, kungadömet Hannover) var en tysk matematiker, statistiker, astronom, geodesist, elektrotekniker och fysiker.På grund av sina enastående vetenskapliga prestationer betraktades han redan under sin livstid som Princeps mathematicorum (Matematikernas prins). Förutom den rena matematiken omfattade hans verksamhet även tillämpade områden, till exempel var han ansvarig för lantmäteriet i kungariket Hannover, tillsammans med Wilhelm Eduard Weber var han en av de första som uppfann elektromagnetisk telegrafi och båda var de första som använde den över längre avstånd, han utvecklade magnetometrar och tog initiativ till ett världsomspännande nätverk av stationer för studier av geomagnetism.

Vid 18 års ålder utvecklade Gauss grunderna för modern ekvationskalkyl och matematisk statistik (metoden för minsta kvadraterna), med vilken han möjliggjorde återupptäckten av den första asteroiden Ceres 1801. Icke-euklidisk geometri, många matematiska funktioner, integralsatser, normalfördelningen, de första lösningarna för elliptiska integraler och Gauss” krökning kan spåras tillbaka till Gauss. År 1807 utnämndes han till universitetsprofessor och observatoriedirektör i Göttingen och fick senare i uppdrag att kartlägga kungariket Hannover. Förutom talteori och potentialteori forskade han bland annat om jordens magnetfält.

Redan 1856 lät kungen av Hannover prägla medaljer med en bild av Gauss och inskriptionen Mathematicorum Principi (Matematikernas prins). Eftersom Gauss bara publicerade en bråkdel av sina upptäckter, blev hans djupa och omfattande arbete fullt tillgängligt för eftervärlden först när hans dagbok upptäcktes 1898 och dödsboet blev känt.

Många matematisk-fysikaliska fenomen och lösningar är uppkallade efter Gauss, liksom flera mät- och observationstorn, många skolor, forskningscentra och vetenskapliga utmärkelser som Carl Friedrich Gauss-medaljen från Braunschweig-akademin och den festliga Gauss-föreläsningen, som äger rum varje termin vid ett tyskt universitet.

Föräldrar, barndom och ungdom

Carl Friedrich föddes i Braunschweig den 30 april 1777 som son till makarna Gauss. Hans födelsehus i Wendengraben i Wilhelmstraße 30 – där Gauss-museet senare inrättades på bottenvåningen – överlevde inte andra världskriget. Han växte upp där som föräldrarnas enda barn; hans far hade en äldre styvbror från ett tidigare äktenskap. Hans far Gebhard Dietrich Gauss (1744-1808) hade olika yrken, bland annat trädgårdsmästare, slaktare, murare, biträdande köpman och kassör i ett litet försäkringsbolag. Den ett år äldre Dorothea Bentze (1743-1839) arbetade som tjänsteflicka innan hon gifte sig och blev hans andra hustru. Hon var dotter till en stenhuggare från Velpke, som dog tidigt, och beskrivs som smart, glad och fast i sin natur. Gauss hade ett nära förhållande till sin mor under hela sitt liv, och den 96-åriga kvinnan bodde sist hos honom i Göttingen.

Enligt anekdoter korrigerade till och med den treårige Carl Friedrich sin pappa på lönelistan. Senare sa Gauss skämtsamt om sig själv att han hade lärt sig att räkna innan han lärde sig att tala. Han hade fortfarande förmågan att utföra även de mest komplicerade beräkningar i huvudet vid hög ålder. Enligt en berättelse av Wolfgang Sartorius von Waltershausen märktes den lille Carl Friedrichs matematiska talang när han efter två års grundskola kom in i aritmetikklassen på Catherinen Volksschule:

Där brukade lärare Büttner sysselsätta sina elever med längre aritmetiska problem medan han gick upp och ner med en karbat i handen. En uppgift var att summera en aritmetisk serie; den som var klar ställde sin tavla med beräkningarna för lösningen på bordet. Med orden ”Ligget se”. i Braunschweig Lagtyska, placerade den nioårige Gauss förvånansvärt snabbt sin på bordet, som bara innehöll ett enda nummer. Efter att Gauss extraordinära talang hade erkänts, skaffades först en annan aritmetikbok från Hamburg innan assistenten Martin Bartels skaffade användbara matematiska böcker för gemensamma studier – och såg till att Gauss kunde gå på Martino-Katharineum Braunschweig 1788.

Den eleganta metod med vilken ”lille Gauss” räknade ut lösningen så snabbt i sitt huvud kallas i dag för den Gaussiska summeringsformeln. För att beräkna summan av en aritmetisk serie, t.ex. av de naturliga talen från 1 till 100, bildar man par av lika stora partiella summor, t.ex. 50 par med summan 101 (1 + 100, 2 + 99, …, 50 + 51), varvid man snabbt kan få 5050 som resultat.

När ”underbarnet” Gauss var fjorton år gammal presenterades han för hertig Karl Wilhelm Ferdinand av Braunschweig. Han stödde honom sedan ekonomiskt. Detta gjorde det möjligt för Gauss att studera vid Collegium Carolinum (Brunswick) från 1792 till 1795, som kan betraktas som något mellan en gymnasieskola och ett universitet och som är föregångaren till dagens tekniska universitet i Brunswick. Där var det professor Eberhard August Wilhelm von Zimmermann som insåg hans matematiska talang, stödde honom och blev en faderlig vän.

Akademiska år

I oktober 1795 flyttade Gauss till Georg August-universitetet i Göttingen. Där lyssnade han på föreläsningar om klassisk filologi av Christian Gottlob Heyne, som vid den tiden intresserade honom lika mycket som matematik. Den senare representerades av Abraham Gotthelf Kästner, som också var poet. Tillsammans med Georg Christoph Lichtenberg hörde han experimentell fysik under sommarsemestern 1796 och troligen astronomi under följande vintersemester. I Göttingen blev han vän med Wolfgang Bolyai.

Vid 18 års ålder var Gauss den förste som lyckades bevisa att det var möjligt att konstruera den regelbundna heptagonen med kompass och linjal, baserat på ett rent algebraiskt resonemang – en sensationell upptäckt, eftersom det inte hade gjorts några större framsteg på detta område sedan antiken. Därefter koncentrerade han sig på studier i matematik, vilket han slutförde 1799 med sin doktorsavhandling vid universitetet i Helmstedt. Matematiken representerades av Johann Friedrich Pfaff, som blev hans doktorandhandledare. Hertigen av Brunswick såg till att Gauss inte fick sin doktorsexamen vid ett ”utländskt” universitet.

Äktenskap, familj och barn

I november 1804 förlovade han sig med Johanna Elisabeth Rosina Osthoff († 11 oktober 1809), dotter till en vit garvare från Braunschweig, som han hade uppvaktat en tid, och gifte sig med henne den 9 oktober 1805. Deras första barn, Joseph Gauss († 4 juli 1873), föddes i Braunschweig den 21 augusti 1806. Sonen fick sitt förnamn efter Giuseppe Piazzi, upptäckaren av Ceres, en mindre planet vars återupptäckt 1801 hade gjort Gauss banberäkning möjlig.

Strax efter att familjen flyttat till Göttingen föddes dottern Wilhelmine, kallad Minna, den 29 februari 1808 och sonen Louis året därpå, den 10 september 1809. En månad senare, den 11 oktober 1809, dog Johanna Gauss i barnsäng, och Louis dog några månader senare, den 1 mars 1810. Johannas död gjorde att Gauss blev deprimerad under en tid; en rörande klagosång skriven av Gauss är från oktober 1809 och hittades i hans dödsbo. Den som hittade den, Carl August Gauss (1849-1927), var hans enda tyskfödda barnbarn, son till Joseph och ägare till godset Lohne nära Hannover. Wilhelmine gifte sig med orientalisten Heinrich Ewald, som senare lämnade kungariket Hannover som en av de sju från Göttingen och blev professor vid universitetet i Tübingen.

Den 4 augusti 1810 gifte sig änkemannen, som hade två små barn att försörja, med Friederica Wilhelmine Waldeck († 12 september 1831), dotter till juristen Johann Peter Waldeck från Göttingen, som hade varit hans avlidna hustrus bästa vän. Han fick tre barn med henne. Som juridikstudent blev Eugen Gauss oense med sin far och emigrerade till Amerika 1830, där han levde som köpman och grundade ”First National Bank” i St Charles. Wilhelm Gauss följde Eugen till USA 1837 och blev också rik. Hans yngsta dotter Therese Staufenau skötte faderns hushåll efter moderns död fram till hans död. Minna Gauss hade dött av tuberkulos efter 13 års lidande.

Gauss avböjde en kallelse till vetenskapsakademin i Petersburg av tacksamhet mot hertigen av Brunswick, förmodligen också i hopp om att denne skulle bygga ett observatorium åt honom i Brunswick. Efter hertigens plötsliga död efter slaget vid Jena och Auerstedt blev Gauss professor vid Georg August-universitetet i Göttingen och chef för observatoriet i Göttingen i november 1807. Där var han tvungen att hålla föreläsningar, vilket han utvecklade en motvilja mot. Den praktiska astronomin representerades av Karl Ludwig Harding och den matematiska stolen innehades av Bernhard Friedrich Thibaut. Flera av hans elever blev inflytelserika matematiker, däribland Richard Dedekind och Bernhard Riemann samt matematikhistorikern Moritz Cantor.

Vid hög ålder började han alltmer engagera sig i litteratur och var en ivrig tidningsläsare. Hans favoritförfattare var Jean Paul och Walter Scott. Han talade flytande engelska och franska och, utöver sin förtrogenhet med antikens klassiska språk från sin ungdom, läste han flera moderna europeiska språk (spanska, italienska, danska, svenska), och senast lärde han sig ryska och experimenterade med sanskrit, som han inte tyckte om.

Från 1804 var han korresponderande medlem av Académie des sciences och från 1820 associer étranger i akademin. År 1804 blev han medlem av Royal Society och 1820 av Royal Society of Edinburgh. År 1808 valdes han till korresponderande och 1820 till utländsk medlem av den bayerska vetenskapsakademin och 1822 till medlem av den amerikanska vetenskapsakademin.

År 1838 fick han Copley-medaljen av Royal Society. År 1842 blev han upptagen i fredsklassen av orden Pour le Mérite. Samma år tackade han nej till en kallelse till universitetet i Wien. År 1845 blev han statsråd och 1846 dekanus för filosofiska fakulteten för tredje gången. År 1849 firade han sitt gyllene doktorsjubileum och blev hedersmedborgare i Brunswick och Göttingen. Hans sista vetenskapliga utbyte handlade om en förbättring av Foucaultpendeln i ett brev till Alexander von Humboldt 1853.

Han samlade in numeriska och statistiska uppgifter av alla slag och förde till exempel förteckningar över berömda mäns förväntade livslängd (beräknad i dagar). Den 7 december 1853 skrev han bland annat till sin vän och ordenskansler Alexander von Humboldt: ”Det är i övermorgon som du, min högt aktade vän, kommer att passera in i en region som ingen av de exakta vetenskapernas ljuskrafter ännu har trängt in i, den dag då du kommer att nå samma ålder som Newton avslutade sin jordiska karriär som mättes med 30 766 dagar. Och Newtons krafter var helt uttömda i detta skede: du har fortfarande full glädje av din beundransvärda kraft, till hela vetenskapsvärldens stora glädje. Må ni fortsätta att njuta av detta i många år framöver.” Gauss var intresserad av musik, gick på konserter och sjöng mycket. Det är inte känt om han spelade ett instrument. Han var involverad i aktiespekulationer och efterlämnade vid sin död en betydande förmögenhet på 170 000 talare (på en professors grundlön på 1 000 talare per år), huvudsakligen i värdepapper, däribland många från järnvägar. Detta är ett av de få avsnitt i hans korrespondens där han kritiserar politiken och de banker som samarbetar med den. Järnvägsaktier som han hade förvärvat i Hessen-Darmstadt förlorade drastiskt i värde när det blev känt att järnvägarna när som helst kunde nationaliseras.

Han var fortfarande vetenskapligt aktiv mot slutet av sitt liv och 1850 höll han

Gauss var mycket konservativ och monarkist, den tyska revolutionen 1848

Död

Under sina sista år led Gauss av hjärtsvikt (diagnostiserad som vattusot) och sömnlöshet. I juni 1854 reste han med sin dotter Therese Staufenau till byggarbetsplatsen för järnvägen från Hannover till Göttingen, där den passerande järnvägen fick hästarna att bli skrämda och välta vagnen, kusken skadades allvarligt, Gauss och hans dotter förblev oskadda. Gauss deltog ändå i invigningen av järnvägslinjen den 31 juli 1854, men efter det blev han alltmer bunden till sitt hem på grund av sjukdom. Han dog i sin fåtölj i Göttingen den 23 februari 1855 klockan 1.05 på morgonen.

Graven på Albani-kyrkogården uppfördes inte förrän 1859 och ritades av den hannoveranska arkitekten Heinrich Köhler. Det ansågs snart vara ett landmärke i Göttingen.

Motivering och bidrag till icke-euklidisk geometri

Redan vid tolv års ålder misstrodde Gauss bevisen för elementär geometri och vid sexton års ålder misstänkte han att det måste finnas en icke-euklidisk geometri vid sidan av den euklidiska geometrin.

Han fördjupade detta arbete under 1820-talet: Oberoende av János Bolyai och Nikolaj Ivanovitj Lobatjevskij märkte han att Euklids parallellaxiom inte var nödvändigt i termer av denotation. Han publicerade dock inte sina tankar om icke-euklidisk geometri, enligt berättelser från hans förtrogna, förmodligen av rädsla för att inte bli förstådd av sin samtid. När hans studiekamrat Wolfgang Bolyai, som han brevväxlade med, berättade om sin son János Bolyais arbete berömde han honom, men kunde inte låta bli att nämna att han själv hade kommit på det mycket tidigare (”att berömma skulle vara att berömma mig själv”). Han hade inte publicerat något om detta eftersom han ”skyggade för booternas rop”. Gauss fann Lobachevskys arbete så intressant att han i hög ålder lärde sig ryska för att studera det.

Fördelning av primtal och metoden med minsta kvadratmetoden

Vid 18 års ålder upptäckte han några egenskaper hos fördelningen av primtal och hittade metoden för minsta kvadraterna, som innebär att man minimerar summan av avvikelsernas kvadrater. Han avstod från att publicera sig för tillfället. Efter att Adrien-Marie Legendre publicerade sin ”Méthode des moindres carrés” i en avhandling 1805 och Gauss inte offentliggjorde sina resultat förrän 1809, uppstod en prioriteringsstrid.

Enligt denna metod kan det mest sannolika resultatet för en ny mätning bestämmas utifrån ett tillräckligt stort antal tidigare mätningar. På grundval av detta undersökte han senare teorier för att beräkna arean under kurvor (numerisk integration), vilket ledde honom till den gaussiska klockkurvan. Den tillhörande funktionen kallas normalfördelningens densitet och används i många uppgifter för sannolikhetsberäkningar, där den är den (asymptotiska, dvs. giltig för tillräckligt stora datamängder) fördelningsfunktionen för summan av data som sprids slumpmässigt runt ett medelvärde. Gauss själv använde sig av den, bland annat när han framgångsrikt administrerade änkors och föräldralösas fond vid universitetet i Göttingen. Han gjorde en grundlig analys under flera år och kom fram till att pensionerna kunde höjas något. På detta sätt lade Gauss också grunden för försäkringsmatematiken.

Introduktion av de elliptiska funktionerna

När han 1796, vid 19 års ålder, undersökte båglängden på en lemniscate som en funktion av kurvpunktens avstånd från ursprunget, introducerade han vad som historiskt sett är de första elliptiska funktionerna, som idag är kända som lemniscatic sine-funktioner. Han publicerade dock aldrig sina anteckningar om dem. Dessa arbeten är relaterade till hans undersökning av det aritmetisk-geometriska medelvärdet. Den egentliga utvecklingen av teorin om elliptiska funktioner, de omvända funktionerna av de elliptiska integraler som varit kända sedan en tid tillbaka, genomfördes av Niels Henrik Abel (1827) och Carl Gustav Jacobi.

Algebraens fundamentala sats, bidrag till användningen av komplexa tal

Gauss insåg tidigt nyttan med komplexa tal, till exempel i sin doktorsavhandling från 1799, som innehåller ett bevis för algebrans fundamentala sats. Denna sats säger att varje algebraisk ekvation med grad större än noll har minst en reell eller komplex lösning. Gauss kritiserade Jean-Baptiste le Rond d”Alemberts äldre bevis som otillräckligt, men inte ens hans eget bevis uppfyller de senare kraven på topologisk stringens. Gauss återkom till beviset för den grundläggande satsen flera gånger och gav nya bevis 1815 och 1816.

Senast 1811 kände Gauss till den geometriska representationen av komplexa tal i ett talplan (Gaussiskt talplan), som Jean-Robert Argand hade funnit redan 1806 och Caspar Wessel 1797. I brevet till Bessel där han meddelar detta framgår det också att han kände till andra viktiga begrepp inom funktionsteorin, t.ex. kurvintegralen i komplexet och Cauchys integralsats, samt de första metoderna för att beräkna integralperioder. Han publicerade dock inget om detta förrän 1831, då han införde namnet komplexa tal i sin uppsats om talteori Theoria biquadratorum. Under tiden hade Augustin-Louis Cauchy (1821, 1825) föregått honom genom att publicera grunden för komplex analys. I samband med sitt guldjubileum 1849 publicerade han en förbättrad version av sin avhandling om algebraens grundläggande sats, där han till skillnad från den första versionen uttryckligen använde komplexa tal.

Bidrag till talteori

Den 30 mars 1796, en månad före sin nittonde födelsedag, bevisade han att den reguljära sjuttonde vertexen kunde konstrueras och gav därmed det första anmärkningsvärda tillägget till euklidiska konstruktioner på 2000 år. Detta var dock bara ett sidoresultat i arbetet med hans mycket mer omfattande arbete om talteori, Disquisitiones Arithmeticae.

Ett första tillkännagivande om detta verk finns i Intelligenzblatt från Allgemeine Literatur-Zeitung i Jena den 1 juni 1796. Disquisitiones, som publicerades 1801, blev grundläggande för den fortsatta utvecklingen av talteorin, till vilken ett av hans viktigaste bidrag var beviset för den kvadratiska reciprocitetslagen, som beskriver lösbarheten av kvadratiska ekvationer ”mod p” och för vilken han hittade nästan ett dussin olika bevis under sitt liv. Förutom uppbyggnaden av elementär talteori på modulär aritmetik diskuteras fortsatta bråk och cirkulär division, med en berömd antydan om liknande satser i Lemniskate och andra elliptiska funktioner, som senare inspirerade Niels Henrik Abel och andra. En stor del av arbetet ägnas åt teorin om kvadratiska former, vars genusteori han utvecklar.

Men det finns många mer djupgående resultat, som ofta bara antyds kortfattat, i den här boken, som på många sätt har befruktat senare generationers talteoretiker. Talteoretikern Peter Gustav Lejeune Dirichlet rapporterade att han alltid hade Disquisitiones till hands när han arbetade under hela sitt liv. Detsamma gäller de två arbetena om biquadratiska ömsesidighetslagar från 1825 och 1831, där han introducerar de gaussiska talen (heltalsgitter i det komplexa talplanet). Verken är troligen en del av en planerad fortsättning på Disquisitiones, som aldrig kom ut. Gotthold Eisenstein gav 1844 bevis för dessa lagar.

Enligt egen utsago inspirerade André Weils läsning av dessa arbeten (och vissa passager i dagboken, som i dold form handlar om lösningen av ekvationer över ändliga kroppar) hans arbete med Weils gissningar. Gauss kände till primtalssatsen, men publicerade den inte.

Gauss främjade en av de första kvinnliga matematikerna i modern tid inom detta område, Sophie Germain. Gauss brevväxlade med henne om talteori från 1804, även om hon först använde en manlig pseudonym. Det var inte förrän 1806 som hon avslöjade sin kvinnliga identitet, när hon vädjade om hans säkerhet till den franska befälhavaren efter ockupationen av Brunswick. Gauss berömde hennes arbete och hennes djupa förståelse för talteori och bad henne att skaffa honom en exakt pendelklocka i Paris 1810 för de prispengar han fick i Lalandepriset.

Bidrag till astronomi

Efter att ha avslutat Disquisitiones vände sig Gauss till astronomi. Anledningen till detta var Giuseppe Piazzis upptäckt av dvärgplaneten Ceres den 1 januari 1801, vars position på himlen astronomen hade tappat bort igen strax efter upptäckten. Den 24-årige Gauss lyckades beräkna banan med hjälp av en ny indirekt metod för banbestämning och sina balansberäkningar enligt metoden för minsta kvadraterna på ett sådant sätt att Franz Xaver von Zach kunde hitta banan igen den 7 december 1801 och – bekräftat – den 31 december 1801. Heinrich Wilhelm Olbers bekräftade detta oberoende av Zach genom observationer den 1 och 2 januari 1802.

Problemet med att hitta Ceres igen som sådan var att man genom observationerna varken känner till platsen, en del av banan eller avståndet, utan bara observationsriktningarna. Detta leder till att man söker efter en ellips och inte efter en cirkel, som Gauss konkurrenter antog. Ett av ellipsens brännpunkter är känt (solen själv), och Ceres” bågar mellan observationsriktningarna genomkorsas enligt Keplers andra lag, dvs. tiderna är som de områden som genomkorsas av den styrande strålen. För den beräkningsmässiga lösningen är det dessutom känt att observationerna i sig utgår från en konisk sektion i rymden, nämligen själva jordbanan.

I princip leder problemet till en ekvation av åttonde graden vars triviala lösning är själva jordens bana. Med hjälp av omfattande begränsningar och den metod för minsta kvadratmetoden som Gauss utvecklat lyckades 24-åringen ge den plats som han hade beräknat för Ceres omloppsbana för perioden 25 november-31 december 1801. Detta gjorde det möjligt för Zach att hitta Ceres på den sista dagen av förutsägelsen. Platsen var inte mindre än 7° (dvs. 13,5 fullmånebredder) öster om den plats där de andra astronomerna hade misstänkt att Ceres befann sig, vilket inte bara Zach utan även Olbers vederbörligen erkände.

Detta arbete, som Gauss påbörjade redan innan han utnämndes till direktör för observatoriet i Göttingen, gjorde honom i ett slag ännu mer berömd än hans talteori i Europa och gav honom bland annat en inbjudan till akademin i S:t Petersburg, där han blev korresponderande medlem 1802.

Den iterativa metod som Gauss fann i detta sammanhang används fortfarande i dag eftersom den å ena sidan gör det möjligt att införliva alla kända krafter i den fysikalisk-matematiska modellen utan betydande extra ansträngning och å andra sidan är lätt att hantera med avseende på datorteknik.

Gauss arbetade sedan med asteroiden Pallas bana, för vars beräkning Parisakademin hade erbjudit prispengar, men kunde inte hitta lösningen. Hans erfarenhet av att bestämma himlakropparnas banor ledde dock till hans verk Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium från 1809.

Bidrag till potentialteorin

Inom potentialteori och fysik är Gauss integralsats (1835, publicerad först 1867) grundläggande. I ett vektorfält identifierar den integralen av divergensen (den derivativa vektorn som tillämpas på vektorfältet) över en volym med integralen av vektorfältet över ytan av denna volym.

Lantmäteri och uppfinningen av heliotropet

Gauss fick sin första erfarenhet av geodesi mellan 1797 och 1801, då han fungerade som rådgivare åt den franske general Lecoq under dennes nationella undersökning av hertigdömet Westfalen. År 1816 fick hans tidigare elev Heinrich Christian Schumacher i uppdrag av Danmarks kung att utföra en latitud- och longitudmätning av danskt territorium. Därefter, från 1820 till 1826, fick Gauss ansvaret för den nationella kartläggningen av kungariket Hannover (”gaußsche Landesaufnahme”), ibland med hjälp av sin son Joseph, som var artilleriofficer i den hannoveranska armén. Denna undersökning fortsatte den danska undersökningen på hannoveranskt territorium i söder, och Gauss använde den Braakerbas som Schumacher hade mätt. Genom den metod för minsta kvadraterna som han uppfann och den systematiska lösningen av omfattande system av linjära ekvationer (Gaussisk eliminationsmetod) uppnådde han en avsevärd ökning av noggrannheten. Han var också intresserad av praktisk tillämpning: han uppfann heliotropet som belystes med solspeglar som ett mätinstrument.

Gaussisk krökning och geodesi

Under dessa år, inspirerad av geodesi och kartteori, behandlade han teorin om ytors differentialgeometri, introducerade bland annat Gauss krökning och bevisade sitt Theorema egregium. Detta innebär att den gaussiska krökningen, som definieras av de huvudsakliga krökningarna av en yta i rymden, endast kan bestämmas genom mätningar av den inre geometrin, dvs. genom mätningar inom ytan. Därför är den gaussiska krökningen oberoende av hur ytan är inbäddad i det tredimensionella rummet, dvs. den ändras inte när ytorna är längdtroget avbildade mot varandra.

Wolfgang Sartorius von Waltershausen rapporterar att Gauss i samband med den Hannoveranska riksmätningen empiriskt sökte efter en avvikelse av vinkelsumman av särskilt stora trianglar från det euklidiska värdet 180° – såsom den plana triangel som Gauss mätte och som bildas av Brocken i Harzbergen, Inselsberg i Thüringiska skogen och Hoher Hagen nära Dransfeld. Max Jammer skrev om denna Gaussiska mätning och dess resultat:

Vinkelöverskottet i denna triangel är endast 0,25 vinkelminuter på grund av jordens storlek. Den ovan nämnda gissningen om motivet är föremål för spekulationer.

Magnetism, elektricitet och telegrafi

Tillsammans med Wilhelm Eduard Weber arbetade han med magnetism från 1831. År 1833 uppfann Weber och Gauss ett elektromagnetiskt telegrafsystem med en reläliknande princip som förband hans observatorium med det fysikaliska institutet över ett avstånd på 1100 meter. De använde galvanometrar och magnetometrar anpassade till telegrafi och utvecklade flera versioner. Ledaren bestod av två koppartrådar (senare järntrådar) som var och en kopplade ihop två spolar: en i Webers kabinett och en i Gauss observatorium. Båda spolarna var löst lindade runt en magnetstav och kunde flyttas längs staven. Principen om elektromagnetisk induktion, som upptäckts två år tidigare, utlöste en strömstöt när sändarspolen runt en stavmagnet rörde sig. Strömmen leddes via kabeln till den andra spolen och omvandlades till rörelse där. Avböjningen av stavmagneten med en spole som var fäst i en träram vid mottagaren (som representerade en relä-, magnetometer- eller spegelgalvanometerliknande princip) förstorades och synliggjordes med hjälp av ett system av speglar och teleskop. Bokstäverna representerades av en binär kod som motsvarade strömriktningen (spegeln i mottagaren vändes till vänster eller höger). Det första budskapet var troligen kunskap före min, varelse före sken – detta budskap återfanns i Gauss” register i binär kod. Enligt andra källor meddelade de att en tjänare anlände, som i övrigt levererade budskapen (Michelmann, kommande). Redan två år före Gauss och Weber utvecklade Joseph Henry och ett år före Gauss och Weber Paul Ludwig Schilling från Cannstatt en elektromagnetisk telegrafiapparat, men ingen av dem använde den över längre avstånd och den väckte inte någon större uppmärksamhet. År 1845 förstördes Gauss och Webers utrustning av ett blixtnedslag som även satte eld på en dams hatt. Ett stall, som linjen passerade, skonades dock, vilket annars kunde ha orsakat en eventuell stadsbrand. Den kommersiella tillämpningen skedde dock av andra, särskilt Samuel Morse i USA några år efter Gauss och Webers uppfinning. Gauss såg dock möjligheterna att använda den till exempel i det stora ryska imperiet och för järnvägarna, och de skrev ett memorandum om detta, som dock inte förverkligades i Tyskland på grund av kostnaderna för linjerna. Trots att de också publicerade om den, glömdes Gauss och Webers telegrafuppfinning nästan bort under de följande åren och andra gjorde anspråk på uppfinningen.

Tillsammans med Weber utvecklade han enhetssystemet CGS, som vid en internationell kongress i Paris 1881 utsågs till grund för elektrotekniska måttenheter. Han organiserade ett världsomspännande nätverk av observationsstationer (Magnetischer Verein) för att mäta jordens magnetfält.

Gauss hittade Kirchhoffs regler för elektriska kretsar 1833 före Gustav Robert Kirchhoff (1845) i sina experiment om teorin om elektricitet.

Övriga

Från honom kom den Gaussiska påskformeln för att beräkna datumet för påsken, och han utvecklade också en påskformel.

Gauss arbetade inom många områden, men publicerade sina resultat först när han ansåg att teorin var fullständig. Detta ledde till att han ibland påpekade för sina kolleger att han för länge sedan hade bevisat det ena eller andra resultatet, men att han ännu inte hade presenterat det på grund av att den underliggande teorin var ofullständig eller att han saknade den hänsynslöshet som krävs för att arbeta snabbt.

Gauss ägde en petschaft som visar ett träd med några frukter och mottot Pauca sed Matura (”Få, men mogna”). Enligt en anekdot vägrade han att ersätta detta motto med till exempel Multa nec immatura (”Mycket, men inte omoget”) för bekanta som kände till Gauss omfattande arbete, eftersom han sa att han hellre lämnade en upptäckt till någon annan än att inte publicera den fullt utvecklad i hans namn. Detta sparade honom tid på områden som Gauss ansåg vara ganska marginella, så att han kunde ägna denna tid åt sitt ursprungliga arbete.

Gauss vetenskapliga kvarlåtenskap förvaras i de särskilda samlingarna vid stats- och universitetsbiblioteket i Göttingen.

Efter hans död avlägsnades hjärnan. Den undersöktes flera gånger, senast 1998, med olika metoder, men utan att man fann något särskilt resultat som kunde förklara hans matematiska förmåga. Det förvaras nu separat, bevarat i formalin, på avdelningen för etik och medicinhistoria vid den medicinska fakulteten vid universitetet i Göttingen.

Hösten 2013 avslöjades en förväxling vid universitetet i Göttingen: hjärnpreparaten från matematikern Gauss och Göttingens läkare Conrad Heinrich Fuchs, som då var över 150 år gamla, förväxlades – troligen strax efter att de tagits. Båda preparaten förvarades i den anatomiska samlingen vid universitetssjukhuset i Göttingen i burkar med formaldehyd. Den ursprungliga Gauss-hjärnan fanns i burken med etiketten ”C. H. Fuchs”, och Fuchs-hjärnan var märkt ”C. F. Gauss”. Detta gör de tidigare forskningsresultaten om Gauss hjärna föråldrade. På grund av de MRT-bilder som gjorts av Gauss förmodade hjärna, som visade en sällsynt delning av den centrala rynkan, tittade forskaren Renate Schweizer på proverna igen och upptäckte att detta iögonfallande drag saknades i de teckningar som gjordes kort efter Gauss död.

De metoder eller idéer som Gauss utvecklade och som bär hans namn är:

Metoder och idéer som delvis bygger på hans arbete är:

Följande namn är uppkallade till hans ära:

Fullständig utgåva

Volymerna 10 och 11 innehåller detaljerade kommentarer av Paul Bachmann (talteori), Ludwig Schlesinger (funktionsteori), Alexander Ostrowski (algebra), Paul Stäckel (geometri), Oskar Bolza (variationskalkyl), Philipp Maennchen (Gauss som räknekonstnär), Harald Geppert (mekanik, potentialteori), Andreas Galle (geodesi), Clemens Schaefer (fysik) och Martin Brendel (astronomi). Redaktören var först Ernst Schering, sedan Felix Klein.

Gauss stenar

Bland de många stenar som uppfördes enligt Gauss instruktioner finns följande:

Porträtt

Det finns relativt många porträtt av bland annat Gauss:

Källor

  1. Carl Friedrich Gauß
  2. Carl Friedrich Gauss