Euclides

Mary Stone | Abril 21, 2023

Resumo

Euclid (grego Εὐκλείδης, Eukleidēs, latim Euclīdēs) era um matemático e geómetra grego (ca. 325 a.C. – ca. 265 a.C.). É conhecido como “o pai da geometria”. Foi activo em Alexandria (antigo Egipto) na época de Ptolomeu I Soter (323 – 283 AC). Foi o fundador da escola de matemática da cidade.

A sua obra mais famosa foi a Elementos, frequentemente considerada o livro de texto de maior sucesso na história da matemática. As propriedades dos objectos geométricos e dos números naturais são deduzidas de um pequeno conjunto de axiomas. Esta obra, um dos mais antigos tratados conhecidos que apresenta sistematicamente, com provas, um grande conjunto de teoremas sobre geometria e aritmética teórica, já viu centenas de edições em todas as línguas, e os seus temas permanecem na base do ensino da matemática a nível secundário em muitos países. O nome Euclid deriva do algoritmo de Euclid, da geometria euclidiana (e da geometria não euclidiana), e da divisão euclidiana. Também escreveu sobre perspectiva, secções cónicas, geometria esférica e teoria dos números.

A sua vida é pouco conhecida, porque viveu em Alexandria (uma cidade no norte do Egipto) durante o reinado de Ptolomeu I. Certos autores árabes afirmam que Euclides nasceu em Tiro e viveu em Damasco. Certos autores árabes afirmam que Euclides nasceu em Tiro e viveu em Damasco. Não há fonte directa para a vida de Euclides: nenhuma carta, nenhuma indicação autobiográfica (mesmo sob a forma de prefácio numa obra), nenhum documento oficial, e nem sequer qualquer alusão de um dos seus contemporâneos. Como resume o historiador matemático Peter Schreiber, “nem um único facto certo é conhecido sobre a vida de Euclides. Ele era o filho de Naucrates e três hipóteses foram apresentadas:

Euclides estudou provavelmente na Academia de Platão, aprendendo as noções básicas dos seus conhecimentos.

Proclus, o último dos grandes filósofos gregos, que viveu cerca de 450, escreveu importantes comentários sobre o Livro I dos Elementos. Estes comentários constituem uma valiosa fonte de informação sobre a história da matemática grega. Assim sabemos, por exemplo, que Euclides reuniu contribuições de Eudoxus de Cnidus sobre a teoria das proporções, e de Theaetetus sobre poliedros regulares.

Precisamente, o mais antigo escrito conhecido sobre a vida de Euclides aparece num resumo sobre a história da geometria escrito no século V d.C. pelo filósofo neoplatonista Proclus, um comentador do primeiro livro dos Elementos. O próprio Proclus não dá qualquer fonte para as suas indicações. Diz apenas: “reunindo os seus Elementos, e evoca em demonstrações irrefutáveis o que os seus antecessores tinham ensinado de uma forma descontraída”. Este homem viveu, por outro lado, sob o primeiro Ptolomeu, uma vez que Arquimedes menciona Euclides. Euclides é portanto mais recente que os discípulos de Platão, mas mais velho que Arquimedes e Eratóstenes”.

Se a cronologia dada por Proclus for aceite, Euclides viveu entre Platão e Arquimedes e foi contemporâneo de Ptolomeu I, por volta de 300 AC.

Nenhum documento contradiz estas poucas frases, nem as confirma realmente. A menção directa de Euclides às obras de Arquimedes provém de uma passagem considerada duvidosa.

Arquimedes refere-se a alguns resultados dos Elementos e de um ostrachus, encontrados na ilha de Elefantino e datados de III a.C.: trata de figuras estudadas no livro XIII dos Elementos, tais como o decágono e o icosaedro, mas sem reproduzir exactamente as afirmações euclidianas; poderiam, portanto, vir de fontes anteriores a Euclides. A data aproximada de 300 a.C. é, no entanto, considerada compatível com a análise do conteúdo da obra euclidiana e é a adoptada pelos historiadores da matemática.

Por outro lado, há uma alusão do matemático Papo de Alexandria em AD IV, que sugere que os estudantes de Euclides teriam ensinado em Alexandria. Alguns autores associaram Euclides ao Museion de Alexandria nesta base, mas ele não aparece em nenhum documento oficial. O epíteto frequentemente associado a Euclides na antiguidade é simplesmente Stoitxeiotes, o autor dos Elementos.

Várias anedotas circulam sobre Euclides, mas como também aparecem para outros matemáticos, não são consideradas reais: por exemplo, a famosa, explicada por Proclus, segundo a qual Euclides teria respondido a Ptolomeu – que queria uma forma mais fácil do que as dos Elementos – que não havia formas reais na geometria; uma variante da mesma anedota é também atribuída a Menecmus e Alexandre o Grande. Da mesma forma, desde a antiguidade tardia, vários detalhes foram acrescentados aos relatos da vida de Euclides, sem novas fontes, e muitas vezes de forma contraditória. Alguns autores têm Euclides nascido em Tiro, outros em Gela; várias genealogias, mestres particulares, diferentes datas de nascimento e morte são-lhe atribuídas, a fim de respeitar as regras do género, ou para favorecer certas interpretações. Na Idade Média e no início da Renascença, o matemático Euclides é frequentemente confundido com um filósofo contemporâneo de Platão, Euclides de Megara.

Menções de obras atribuídas a Euclides aparecem em vários autores, em particular na Colecção Matemática de Pappus (geralmente datada do século III ou IV) e no Comentário aos Elementos de Euclides por Proclus. Apenas uma parte destas obras sobreviveu até aos dias de hoje.

Cinco obras chegaram até nós: Data, On Divisions, Catoptrics, Appearances of the Sky e Optics. De fontes árabes, vários tratados sobre mecânica são atribuídos a Euclides. Sobre o Pesado e a Luz contém, em nove definições e cinco proposições, as noções aristotélicas sobre o movimento dos corpos e o conceito de gravidade específica. Sobre o Equilíbrio trata da teoria da alavanca também de uma forma axiomática, com uma definição, dois axiomas e quatro proposições. Um terceiro fragmento, sobre os círculos descritos pelas extremidades de uma alavanca móvel, contém quatro proposições. Estas três obras complementam-se de tal forma que foi sugerido que são restos de um único tratado sobre mecânica escrito por Euclides.

Os Elementos

Os seus Elementos é uma das produções científicas mais conhecidas do mundo e era uma compilação dos conhecimentos ensinados no mundo académico da época. Os Elementos não eram, como por vezes se pensa, um compêndio de todos os conhecimentos geométricos, mas sim um texto introdutório abrangendo toda a matemática elementar, ou seja, aritmética, geometria sintética e álgebra.

Os Elementos estão divididos em treze livros ou capítulos, dos quais a primeira meia dúzia está em geometria plana elementar, os três seguintes em teoria dos números, o livro X em incomensuráveis e os três últimos principalmente sobre a geometria dos sólidos.

Nos livros dedicados à geometria, o estudo das propriedades das linhas e planos, círculos e esferas, triângulos e cones, etc., ou seja, formas regulares, é apresentado de uma forma formal, partindo apenas de cinco postulados. Provavelmente nenhum dos resultados de Os Elementos foi demonstrado pela primeira vez por Euclides, mas a organização do material e a sua exposição deve-se sem dúvida a ele. De facto, há muitas provas de que Euclides utilizou manuais escolares anteriores ao escrever Os Elementos, uma vez que apresenta um grande número de definições que não são utilizadas, tais como a de um oblongo, um losango e um rombóide. Os teoremas de Euclides são os que geralmente se aprendem na escola moderna. Para citar algumas das mais conhecidas:

Os Livros VII, VIII e IX de Os Elementos estudam a teoria da divisibilidade. Considera a ligação entre números perfeitos e primários de Mersenne (conhecido como o teorema Euclid-Euler), a infinidade de números primos (Teorema de Euclid), o lema de Euclid sobre a factorização (que conduz ao teorema fundamental da aritmética sobre a singularidade das factorizações dos primários) e o algoritmo de Euclid para encontrar o maior divisor comum de dois números.

A geometria de Euclides, além de ser uma ferramenta poderosa para o raciocínio dedutivo, tem sido extremamente útil em muitos campos do conhecimento, por exemplo, em física, astronomia, química e vários campos da engenharia. É certamente muito útil em matemática. Inspirado pela harmonia da apresentação de Euclides, o segundo século viu a formulação da teoria Ptolemaica do universo, segundo a qual a Terra é o centro do universo, e os planetas, a Lua e o Sol giram à sua volta em linhas perfeitas, ou seja, círculos e combinações de círculos. No entanto, as ideias de Euclides constituem uma abstracção considerável da realidade. Por exemplo, ele assume que um ponto não tem tamanho; que uma linha é um conjunto de pontos que não tem largura nem espessura, apenas comprimento; que uma superfície não tem espessura, e assim por diante. Uma vez que um ponto, segundo Euclides, não tem tamanho, é-lhe atribuída uma dimensão de zero. Uma linha tem apenas comprimento, pelo que adquire uma dimensão igual a um. Uma superfície não tem espessura, não tem altura, pelo que lhe é atribuída a dimensão dois: largura e comprimento. Finalmente, um corpo sólido, tal como um cubo, tem a dimensão três: comprimento, largura e altura. Euclides tentou resumir todos os conhecimentos matemáticos no seu livro Os Elementos. A geometria de Euclides foi uma obra que permaneceu inalterada até ao século XIX.

Dos axiomas iniciais, apenas o axioma dos paralelos parecia menos óbvio. Vários matemáticos tentaram, sem sucesso, dispensar este axioma, tentando deduzi-lo do resto dos axiomas. Tentaram apresentá-lo como um teorema, sem sucesso em

Finalmente, alguns autores criaram novas geometrias baseadas na invalidação ou substituição do axioma de paralelos, dando origem a “geometrias não euclidianas”. A principal característica destas geometrias é que, ao alterar o axioma das paralelas, os ângulos de um triângulo já não somam até 180 graus.

Os Dados (Δεδομένα) é a única outra obra de Euclides que trata da geometria e da qual existe uma versão grega (está, por exemplo, no manuscrito X descoberto por Peyrard). É também descrita em pormenor no livro VII da Colecção Matemática de Papo, o “Tesouro da Análise”, intimamente relacionado com os primeiros quatro livros dos Elementos. Trata do tipo de informação dada em problemas geométricos, e da sua natureza. Os dados são colocados no quadro da geometria plana e são considerados pelos historiadores como um complemento dos Elementos, numa forma mais adequada à análise dos problemas. A obra contém 15 definições, e explica o que significa um objecto geométrico, em posição, em forma, em tamanho, e 94 teoremas. Estes explicam que, se alguns elementos de uma figura forem dados, outras relações ou elementos podem ser determinados.

Sobre divisões

Esta obra (há peças em latim (De divisionibus), mas acima de tudo há um manuscrito em árabe descoberto no século XIX, que contém 36 proposições, quatro das quais estão provadas.

Trata da divisão das figuras geométricas em duas ou mais partes iguais ou em partes de determinadas proporções. É semelhante a uma obra do século III d.C. de Heron of Alexandria. Neste trabalho, ele tenta construir linhas rectas que dividem determinadas figuras em determinadas proporções e formas. Por exemplo, é pedido, dado um triângulo e um ponto dentro do triângulo, para construir uma linha que passa pelo ponto e corta o triângulo em duas figuras de área igual; ou, dado um círculo, para construir duas linhas paralelas, de modo a que a porção do círculo que limitam faça um terço da área do círculo.

Sobre falácias (Pseudaria)

Sobre falácias (Περὶ Ψευδαρίων), um texto sobre erros de raciocínio, é um trabalho perdido, conhecido apenas pela descrição dada por Proclus. Segundo ele, o objectivo do trabalho era habituar os principiantes a detectar o raciocínio falso, em particular o que imita o raciocínio dedutivo e que tem, portanto, a aparência de verdade. Ele deu exemplos de paralelogismos.

Quatro livros sobre secções cónicas

Quatro Livros sobre Secções Cónicas (Κωνικῶν Βιβλία) está agora perdido. Era uma obra sobre secções cónicas que foi expandida por Apollonius de Perga num famoso livro sobre o mesmo assunto. É provável que os primeiros quatro livros da obra de Apollonius tenham vindo directamente de Euclides. Segundo Papo, “Apolônio, tendo completado os quatro livros de Cónicas de Euclides, e tendo acrescentado mais quatro, deixou oito volumes de Cónicas”. As cónicas de Apollonius rapidamente substituíram a obra original, e pelo tempo de Papo, a obra de Euclides tinha-se perdido.

Três livros de porismos

Três livros de porismos (Πορισμάτων Βιβλία) podem ter sido uma extensão da sua obra sobre secções cónicas, mas o significado do título não é claro. É uma obra que está perdida. A obra é evocada em duas passagens de Proclus e, sobretudo, é objecto de uma longa apresentação no Livro VII da Colecção Pappus, o “Tesouro da Análise”, como um exemplo significativo e de grande alcance da abordagem analítica. A palavra porisma tem várias utilizações: segundo Papo, designaria aqui uma declaração de tipo intermediário entre teoremas e problemas. O trabalho de Euclides teria contido 171 afirmações deste tipo e 38 lemas. Pappos dá exemplos, tais como “se, partindo de dois pontos determinados, forem traçadas linhas rectas que intersectam uma dada linha recta, e se um destes esculpir um segmento numa dada linha recta, o outro fará o mesmo noutra linha recta, com uma relação fixa entre os dois segmentos cortados”. Interpretar o significado exacto do que é um porismo, e possivelmente restaurar todas ou parte das afirmações da obra de Euclides, a partir das informações deixadas por Pappus, tem ocupado muitos matemáticos: as tentativas mais conhecidas são as de Pierre Fermat no século XVII, de Robert Simson no século XVIII, e sobretudo de Michel Chasles no século XIX. Se a reconstrução de Chasles não for levada a sério como tal pelos historiadores de hoje, deu ao matemático a oportunidade de desenvolver a noção da relação anharmonica.

Dois livros sobre lugares geométricos

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Βιβλία Β” era sobre lugares geométricos em superfícies ou lugares geométricos que eram eles próprios superfícies. Numa interpretação posterior, é feita a hipótese de que o trabalho poderia ter sido sobre superfícies quadriculadas. É também uma obra perdida de dois livros, mencionada na análise do Tesouro de Pappus. As indicações dadas em Proclus ou Pappus sobre estes lugares de Euclides são ambíguas e a questão exacta colocada na obra não é conhecida. Na tradição da matemática grega antiga, os lugares são conjuntos de pontos que verificam uma determinada propriedade. Estes conjuntos são frequentemente linhas rectas, ou secções cónicas, mas também podem ser superfícies planas, por exemplo. A maioria dos historiadores estima que o locus de Euclides pode ser superfícies de revolução, esferas, cones ou cilindros.

Aparições do céu

Appearances of the Sky or Phenomena (# Φαινόμενα) é um tratado sobre astronomia posicional, que é preservado em grego. É bastante semelhante a uma obra de Autolytus (On the Notion of the Sphere) e discute a aplicação da geometria da esfera à astronomia, tendo sobrevivido em grego, em várias versões manuscritas, a mais antiga das quais data do século X. Este texto explica o que se chama “pequena astronomia”, em contraste com os temas tratados na Grande Composição de Ptolomeu (o Almagest). Contém 18 proposições e está próximo das obras sobreviventes sobre o mesmo tema do Autolytus de Pitane.

Óptica

A óptica (Ὀπτικά) é o mais antigo tratado grego sobrevivente, em várias versões, dedicado a problemas que diríamos agora de perspectiva e aparentemente destinado a ser utilizado em astronomia, assume a forma de Elementos: é uma continuação de 58 proposições das quais a prova repousa em definições e postulados declarados no início do texto. Nas suas definições, Euclides segue a tradição platónica, que afirma que a visão é causada por raios que emanam do olho. Euclides descreve o tamanho aparente de um objecto em relação à sua distância do olho, e investiga as formas aparentes de cilindros e cones quando visto de ângulos diferentes.

Euclides mostra que os tamanhos aparentes de objectos iguais não são proporcionais à sua distância do nosso olho (proposta 8). Ele explica, por exemplo, a nossa visão de uma esfera (e outras superfícies simples): o olho vê uma superfície inferior no meio da esfera, uma proporção ainda menor à medida que a esfera está próxima, mesmo que a superfície vista pareça maior, e o contorno do que se vê é um círculo. O tratado, em particular, contradiz uma opinião defendida em algumas escolas de pensamento, segundo a qual o tamanho real dos objectos (em particular dos corpos celestes) é o seu tamanho aparente, aquele que é visto.

Papo considerou estes resultados importantes em astronomia e incluiu a Óptica de Euclides, juntamente com os seus Fenómenos, num compêndio de obras menores a serem estudadas antes do Almagest de Claudi Ptolemeu.

Tratado sobre música

Proclus atribui a Euclides um tratado sobre música (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), que, tal como a astronomia, a música teórica, por exemplo sob a forma de uma teoria aplicada de proporções, está entre as ciências matemáticas. Dois pequenos escritos foram preservados em grego, e foram incluídos em edições antigas de Euclides, mas o seu julgamento é incerto, assim como as suas possíveis ligações com os Elementos. Os dois escritos (uma Secção do Cânone sobre Intervalos Musicais e uma Introdução Harmónica) são, por outro lado, considerados contraditórios, e o segundo, pelo menos, é agora considerado por estudiosos como sendo de outro autor.

Obras falsamente atribuídas a Euclides

Catoptrics (Κατοητρικά) trata da teoria matemática dos espelhos, em particular as imagens formadas em plano côncavo e espelhos esféricos. A sua atribuição a Euclides é duvidosa; o seu autor pode ter sido Theon of Alexandria. Aparece no texto de Euclides sobre a óptica e no comentário de Proclus. É agora considerado perdido e, em particular, Catoptricus, há muito publicado como continuação da Óptica em edições antigas, já não é atribuído a Euclides; é considerado uma compilação posterior.

Euclides é também mencionado como autor de fragmentos relacionados com a mecânica, especificamente em textos sobre a alavanca e o equilíbrio, em alguns manuscritos em latim ou árabe. A atribuição é agora considerada duvidosa.

Outras referências

Fontes

1. Euclides
2. Euclides
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. Cette édition est accessible en ligne sur Internet Archive.
5. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
6. Affirmation tenue pour exacte jusqu’à ce que l’érudit persan Alhazen (965-1040), dans son Kitab al-Manazir (livre d’optique), affirme le contraire[33].
7. ^ Ball, pp. 50–62.
8. Natorp P. Diokleides 4 (нем.) // Kategorie:RE:Band V,1 — 1903.
9. Зубов, 2007, с. 510.
10. Евклид // Математический энциклопедический словарь. — М.: Сов. энциклопедия, 1988. — С. 214—215.
11. Proclus. p. 57 Архивная копия от 10 декабря 2016 на Wayback Machine
12. Кэджори Ф. История элементарной математики. Одесса, 1917. С. 70-71