Al-Khwârizmî

Delice Bette | mai 10, 2023

Résumé

Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (persan : ابوعبدالله محمد بن موسی جوارزمی (Khorasmia ,vers 780-Bagdad, vers 850), généralement connu sous le nom d’al-Khwarismi et anciennement latinisé sous le nom d’Algorithmi, était un mathématicien et un géographe persan. 850), généralement connu sous le nom d’al-Khwarismi, et anciennement latinisé sous le nom d’Algorithmi, était un mathématicien, astronome et géographe persan. Astronome et directeur de la bibliothèque de la Maison de la sagesse à Bagdad vers 820, il est considéré comme l’un des plus grands mathématiciens de l’histoire.

Son ouvrage, Compendium of calculus by reintegration and comparison, présente la première solution systématique des équations linéaires et quadratiques. L’une de ses principales réalisations dans le domaine de l’algèbre a été de démontrer comment résoudre les équations quadratiques par la méthode de la complétion des carrés, en la justifiant géométriquement. Il a également travaillé dans le domaine de la trigonométrie, produisant des tables de sinus et de cosinus, ainsi que la première sur les tangentes.

Son importance réside dans le fait qu’il a été le premier à considérer l’algèbre comme une discipline indépendante et qu’il a introduit les méthodes de « réduction » et d' »équilibre », ce qui lui a valu d’être décrit comme le père et le fondateur de l’algèbre. En fait, son nom latinisé a donné son nom à plusieurs termes mathématiques tels que algoritmo et algoritmia (la discipline qui développe des algorithmes) et le portugais algarismo qui signifie chiffre, ainsi que guarismo.

Il excella également en tant que géographe et astronome, révisant l’ouvrage de Ptolémée, la Géographie, et réussissant à énumérer les longitudes et les latitudes de diverses villes et localités. Il a également rédigé plusieurs ouvrages sur l’astrolabe, le cadran solaire et le calendrier, et a produit plusieurs tables astronomiques.

Son héritage s’est poursuivi lorsqu’au XIIe siècle, des traductions latines de son ouvrage Algoritmi de numero Indorum ont contribué à populariser les chiffres arabes en Occident, de même que les travaux du mathématicien italien Fibonacci, ce qui a conduit au remplacement du système de numération romain par le système arabe, à l’origine de la numération moderne. En outre, son opus magnum a été utilisé comme principal traité de mathématiques, traduit par Robert de Chester en 1145, dans les universités européennes jusqu’au XVIe siècle.

On sait peu de choses sur sa biographie, à tel point que son lieu de naissance fait l’objet de controverses non résolues. Certains affirment qu’il est né à Bagdad. D’autres, suivant l’article de Gerald Toomer (lui-même basé sur les écrits de l’historien al-Tabari) soutiennent qu’il est né dans la ville khorasmienne de Khiva (dans l’actuel Ouzbékistan). Rashed estime qu’il s’agit d’une interprétation erronée de Toomer, due à une erreur de transcription (l’absence de la conjonction wa) dans une copie du manuscrit d’al-Tabari. Ce ne sera pas le dernier désaccord entre historiens que nous trouverons dans les descriptions de la vie et de l’œuvre d’al-Khwarismi. Il a étudié et travaillé à Bagdad dans la première moitié du IXe siècle, à la cour du calife al-Mamun. Pour beaucoup, il était le plus grand mathématicien de son temps.

Nous devons à son nom et à celui de son œuvre principale, Hisāb al-ŷabr wa’l muqābala, (حساب الجبر و المقابلة) nos mots algèbre, guarisme et algorithme. En fait, il est considéré comme le père de l’algèbre et l’introducteur de notre système de numération arabe.

Vers 815, al-Mamun, le septième calife abbasside, fils de Harun al-Rashid, a fondé la Maison de la sagesse (Bayt al-Hikma) dans sa capitale, Bagdad, une institution de recherche et de traduction que certains ont comparée à la Bibliothèque d’Alexandrie. Des ouvrages scientifiques et philosophiques grecs et hindous y étaient traduits en arabe. Elle disposait également d’observatoires astronomiques. C’est dans cet environnement scientifique et multiculturel qu’al-Khwarismi a été éduqué et a travaillé avec d’autres scientifiques tels que les frères Banu Musa, al-Kindi et le célèbre traducteur Hunayn ibn Ishaq. Deux de ses ouvrages, ses traités d’algèbre et d’astronomie, sont dédiés au calife lui-même.

Algèbre

Dans son traité d’algèbre Hisāb al-ŷabr wa’l muqābala (حساب الجبر و المقابلة, Compendium du calcul par complétion et comparaison), ouvrage éminemment didactique, l’objectif est d’enseigner une algèbre appliquée à la résolution des problèmes quotidiens de l’empire islamique de l’époque. La traduction par Rosen des mots d’al-Khwarismi décrivant les objectifs de son livre montre que le savant avait l’intention d’enseigner :

… ce qu’il y a de plus facile et de plus utile dans l’arithmétique, ce dont les hommes ont constamment besoin dans les cas d’héritage, de legs, de partage, de procès, de commerce, et dans tous leurs rapports entre eux, ou lorsqu’il s’agit de mesurer des terres, de creuser des canaux, de faire des calculs géométriques, et d’autres objets de diverses sortes et de divers genres.

Traduit en latin par Gerardo de Cremona à Tolède, il a été utilisé dans les universités européennes comme manuel jusqu’au XVIe siècle. Il s’agit du premier traité connu dans lequel une étude exhaustive est réalisée sur la résolution d’équations.

Après avoir présenté les nombres naturels, al-Khwarismi aborde la question principale de la première partie du livre : la résolution des équations. Ses équations sont linéaires ou quadratiques et sont composées d’unités, de racines et de carrés ; pour lui, par exemple, une unité était un nombre, une racine était x {displaystyle x} et un carré x 2 {style x^{2}} . Même si, dans les exemples suivants, nous utiliserons la notation algébrique courante à notre époque pour aider le lecteur à comprendre les notions, il convient de noter qu’al-Khwarizmi n’utilisait pas de symboles d’aucune sorte, mais uniquement des mots.

Réduisez d’abord une équation à l’une des six formes normales :

La réduction est effectuée à l’aide des opérations d’al-ŷabr (« achèvement », le processus d’élimination des termes négatifs de l’équation) et d’al-muqabala (« équilibrage », le processus de réduction des termes positifs de même puissance lorsqu’ils se trouvent des deux côtés de l’équation). Ensuite, al-Khwarismi montre comment résoudre les six types d’équations, en utilisant des méthodes algébriques et géométriques. Par exemple, pour résoudre l’équation x 2 + 10 x = 39 {displaystyle x^{2}+10x=39} écrire :

… un carré et dix racines égalent 39 unités. La question dans ce type d’équation est donc à peu près la suivante : quel est le carré qui, combiné à dix de ses racines, donnera une somme totale de 39. La façon de résoudre ce type d’équation est de prendre la moitié des racines mentionnées. Or, dans le problème qui nous occupe, les racines sont au nombre de dix. Nous prenons donc 5 qui, multiplié par lui-même, donne 25, quantité que vous ajouterez à 39, ce qui donne 64. Ayant extrait la racine carrée de ce chiffre, qui est 8, nous en soustrayons la moitié des racines, 5, ce qui donne 3.

Vient ensuite la preuve géométrique par achèvement du carré, que nous n’aborderons pas ici. Notons toutefois que les preuves géométriques utilisées par al-Khwarismi font l’objet d’une controverse parmi les spécialistes. La question, qui reste sans réponse, est de savoir s’il connaissait les travaux d’Euclide. Il convient de rappeler que dans la jeunesse d’al-Khwarismi et sous le règne de Harun al-Rashid, al-Hajjaj avait traduit les Éléments en arabe et était l’un des compagnons d’al-Khwarismi dans la Maison de la Sagesse. Cela confirmerait la position de Toomer (op.cit.). Rashed commente qu’il a probablement été inspiré par la connaissance récente des « Éléments ». Mais Gandz, pour sa part, soutient que les Éléments lui étaient totalement inconnus. Bien qu’il ne soit pas certain qu’il ait réellement connu l’œuvre euclidienne, il est possible d’affirmer qu’il a été influencé par d’autres ouvrages de géométrie ; voir le traitement par Parshall des similitudes méthodologiques avec le texte hébreu du milieu du IIe siècle Mishnat ha Middot.

Hisab al-ŷabr wa’l-muqabala poursuit en examinant comment les lois de l’arithmétique s’étendent à ses objets algébriques. Par exemple, il montre comment multiplier des expressions telles que ( a + b x ) ( c + d x ) { {displaystyle (a+bx)(c+dx)} . Rashed (op. cit.) trouve ses formes de résolution extrêmement originales, mais Crossley les considère comme moins significatives. Gandz considère que la paternité de l’algèbre est beaucoup plus attribuable à al-Khwarismi qu’à Diophante.

La partie suivante est constituée d’applications et d’exemples. Elle décrit les règles permettant de trouver l’aire des figures géométriques telles que le cercle, et le volume des solides tels que la sphère, le cône et la pyramide. Cette partie a certainement beaucoup plus d’affinités avec les textes hébraïques et indiens qu’avec n’importe quel ouvrage grec. La dernière partie de l’ouvrage traite des règles islamiques complexes en matière d’héritage, mais ne requiert que peu de l’algèbre dont il a été question plus tôt, à l’exception de la résolution d’équations linéaires.

Arithmétique

De son arithmétique, peut-être appelée à l’origine Kitab al-Ŷamaa wa al-Tafriq bi Hisab al-Hind, (كتاب الجامع و التفريق بحساب الهند), Livre de l’addition et de la soustraction, selon le calcul indien, nous ne conservons qu’une version latine du XIIe siècle, Algoritmi de numero Indorum et une autre intitulée Liber Algoarismi traduite par Juan Hispalense, appartenant à l’école de traduction tolédane, en 1133. Malheureusement, on sait que l’ouvrage s’écarte considérablement du texte original. Cet ouvrage décrit en détail les chiffres indo-arabes, le système indien de numération positionnelle en base 10 et les méthodes de calcul qu’il permet. On sait qu’il existait une méthode pour trouver les racines carrées dans la version arabe, mais elle n’apparaît pas dans la version latine. Il est peut-être le premier à avoir utilisé le zéro comme indicateur de position. Il a joué un rôle essentiel dans l’introduction de ce système de numération dans le monde arabe, en al-Andalus et, plus tard, en Europe. André Allard présente quelques traités latins du 12e siècle basés sur cet ouvrage perdu.

Le nom latinisé d’Al-Khwarizmi, Algorismus, est devenu le nom de la méthode utilisée pour les calculs et a survécu dans le terme moderne d' »algorithme ». Cette méthode a progressivement remplacé les méthodes basées sur l’abaque utilisées en Europe. …

Quatre textes latins ont survécu qui fournissent des adaptations des méthodes d’Al-Khwarizmi, bien qu’aucun d’entre eux ne soit considéré comme une traduction littérale.

Dixit Algorizmi (« Ainsi parla Al-Khwarizmi ») est la première phrase d’un manuscrit conservé à la bibliothèque de l’université de Cambridge, généralement désigné par son titre de 1857, Algoritmi de Numero Indorum. Elle est attribuée à Adélard de Bath, qui avait également traduit les tables astronomiques en 1126. Il est peut-être le plus proche des écrits d’Al-Khwarizmi.

Les travaux d’Al-Khwarizmi sur l’arithmétique sont à l’origine de l’introduction dans le monde occidental des chiffres arabes, basés sur le système de numération hindou-arabe développé dans les mathématiques indiennes. Le terme « algorithme » est dérivé de l’algorithme, la technique d’exécution de l’arithmétique avec des chiffres indo-arabes développée par al-Khwarizmi. Les termes « algorithme » et « algorisme » sont tous deux dérivés des formes latinisées du nom d’al-Khwārizmī, Algoritmi et Algorismi , respectivement.

Astronomie

Les deux versions en arabe de son traité d’astronomie, Sindhind zij, ont également été perdues. Cet ouvrage est basé sur des travaux astronomiques indiens « contrairement aux manuels astronomiques islamiques ultérieurs, qui utilisaient les modèles planétaires grecs de l' »Almageste » de Ptolémée ». Le texte indien sur lequel le traité est basé est l’un de ceux offerts à la cour de Bagdad vers 770 par une mission diplomatique de l’Inde. Au Xe siècle, al-Maŷriti a procédé à une révision critique de la version courte, qui a été traduite en latin par Adélard de Bath ; il existe également une traduction latine de la version longue, et les deux traductions ont survécu jusqu’à aujourd’hui. Les principaux sujets abordés dans l’ouvrage sont les calendriers, le calcul des positions réelles du soleil, de la lune et des planètes, les tables des sinus et des tangentes, l’astronomie sphérique, les tables astrologiques, les calculs des parallaxes et des éclipses, et la visibilité de la lune. Rozenfel’d discute d’un manuscrit connexe sur la trigonométrie sphérique, attribué à al-Khwarismi.

Géographie

Dans le domaine de la géographie, dans un ouvrage intitulé Kitab Surat al-Ard (arabe : كتاب صورةلأرض ,Livre de l’apparition de la Terre ou de l’image de la Terre), écrit en 833, il a revu et corrigé les travaux antérieurs de Ptolémée concernant l’Afrique et l’Orient. Il énumère les latitudes et les longitudes de 2 402 lieux et place les villes, les montagnes, les mers, les îles, les régions géographiques et les fleuves comme base d’une carte du monde connu à l’époque. Elle comprend des cartes qui, dans l’ensemble, sont plus précises que celles de Ptolémée. Il est clair que dans les régions où al-Khwârazm disposait d’une meilleure connaissance du terrain, comme les régions de l’Islam, de l’Afrique et de l’Extrême-Orient, son travail est beaucoup plus précis que celui de Ptolémée, mais il semble qu’il ait utilisé les données de Ptolémée pour l’Europe. Soixante-dix géographes auraient travaillé sous sa direction sur ces cartes.

Il ne subsiste qu’un seul exemplaire du Kitab Surat-al-Ard, conservé à la bibliothèque universitaire de Strasbourg. Une copie traduite en latin est conservée à la Biblioteca Nacional de España à Madrid.

Bien que ni la copie arabe ni la traduction latine n’incluent la carte du monde, Hubert Daunicht a pu reconstituer une carte du monde à l’aide de sa liste de coordonnées. …

Al-Khwarizmi a corrigé la surestimation par Ptolémée de la surface de la mer Méditerranée (Ptolémée a estimé que la mer Méditerranée avait une longueur de 63 degrés, alors qu’il a estimé plus correctement que la mer avait une longueur d’environ 50 degrés). Il a également contredit Ptolémée en affirmant que l’océan Atlantique et l’océan Indien étaient deux étendues d’eau libres, et non des mers. Al-Khwarizmi a également établi le méridien de Greenwich de l’Ancien Monde sur la rive orientale de la Méditerranée, à 10-13 degrés à l’est d’Alexandrie (Ptolémée plaçait le méridien à 70 degrés à l’ouest de Bagdad). La plupart des géographes musulmans médiévaux ont continué à utiliser le méridien de Greenwich d’Al-Khwarizmi.

La plupart des noms de lieux utilisés par al-Khwarizmi coïncident avec ceux de Ptolémée, Martellus et Behaim. La forme générale de la côte est la même entre Taprobane et Kattigara. La côte atlantique de la Queue du Dragon, qui n’existe pas sur la carte de Ptolémée, est tracée avec très peu de détails sur la carte d’al-Khwarizmi, mais elle est claire et plus précise que celle de la carte de Martellus et de la version de Behaim.

Autres travaux

Le Kitāb al-Fihrist d’Ibn al-Nadim, un index des livres arabes, mentionne le Kitāb al-Taʾrīkh d’al-Khwārizmī (cependant, une copie était parvenue à Nusaybin au XIe siècle, où elle a été trouvée par son évêque métropolitain, Mar Elyas bar Shinaya. La chronique d’Elijah le cite depuis « la mort du Prophète » jusqu’en 169 de l’Hégire, date à laquelle le texte d’Elijah se trouve dans une lacune.

Plusieurs manuscrits arabes à Berlin, Istanbul, Tachkent, Le Caire et Paris contiennent d’autres documents qui proviennent certainement ou avec une certaine probabilité d’al-Khwārizmī. Le manuscrit d’Istanbul contient un article sur les cadrans solaires ; le fihrist attribue le Kitāb ar-Rukhāma (t) ( arabe : كتاب الرخامة ) à al-Khwārizmī. D’autres ouvrages, comme celui sur la détermination de la direction de La Mecque, traitent de l’astronomie sphérique.

Deux textes sont particulièrement intéressants concernant la largeur du matin ( Ma’rifat sa’at al-mashriq fī kull balad ) et la détermination de l’azimut à partir d’une hauteur ( Ma’rifat al-samt min qibal al-irtifā ‘ ).

Son œuvre connue est complétée par plusieurs ouvrages mineurs sur des sujets tels que l’astrolabe, sur lequel il a écrit deux textes, sur les cadrans solaires et sur le calendrier juif. Il a également écrit une histoire politique contenant des horoscopes de personnages importants.

À Khiva, en Ouzbékistan, souvent considéré comme son lieu de naissance probable, une statue est érigée en son honneur. L’image montre Juarismi assis sur un banc, dans une position de raisonnement, alors que l’image regarde vers le sol, comme s’il calculait ou lisait. Une autre image du sage, cette fois debout avec les bras tendus, se trouve dans la ville ouzbèke d’Urgench.

Le 6 septembre 1983, le gouvernement soviétique a émis une série postale d’un timbre commémoratif représentant le visage du sage persan, avec l’inscription « 1200 ans » en référence aux 1200 ans écoulés depuis sa naissance probable. En 2012, le gouvernement ouzbek a également émis un timbre-poste commémoratif de Khuarismi, inspiré par la statue du sage qui se trouve aujourd’hui à Khiva.

Éponymie

Sources

1. Al-Juarismi
2. Al-Khwârizmî
3. Toomer, 1990
4. a b Abbas, Youssef Ahmed. Al-jabr: atividades para vivenciar a introdução à álgebra. Universidade de Sao Paulo, Agencia USP de Gestao da Informacao Academica (AGUIA). Consultado el 21 de mayo de 2021.
5. Toomer G. J. Al-Khwārizmī, Abū Ja’far Muhammad Ibn Mūsā (англ.) / C. C. Gillispie — Charles Scribner’s Sons, 1970.
6. ^ Boyer, Carl B., 1985. A History of Mathematics, p. 252. Princeton University Press. « Diophantus sometimes is called the father of algebra, but this title more appropriately belongs to al-Khowarizmi… » , « …the Al-jabr comes closer to the elementary algebra of today than the works of either Diophantus or Brahmagupta… »
7. Gerald J. Toomer: «Al-Khwārizmī, Abū Ja’far Muhammad Ibn Mūsā» (Αγγλικά) Charles Scribner’s Sons. Δεκαετία του 1970.
8. 2,0 2,1 Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας.
9. Sonja Brentjes: «Khwārizmī: Muḥammad ibn Mūsā al‐Khwārizmī» (Αγγλικά) Springer Science+Business Media. 2007.