Πάππος

Mary Stone | 27 Ιανουαρίου, 2023

Σύνοψη

Ο Πάππος της Αλεξάνδρειας (περ. 290 – περ. 350 μ.Χ.) ήταν ένας από τους τελευταίους μεγάλους Έλληνες μαθηματικούς της αρχαιότητας, γνωστός για τη Συναγωγή ή Συλλογή του (περ. 340) και για το εξάγωνο θεώρημα του Πάππου στην προβολική γεωμετρία. Τίποτα δεν είναι γνωστό για τη ζωή του, εκτός από όσα μπορούν να βρεθούν στα ίδια του τα γραπτά: ότι είχε έναν γιο που ονομαζόταν Ερμόδωρος και ότι ήταν δάσκαλος στην Αλεξάνδρεια.

Η Συλλογή, το γνωστότερο έργο του, είναι μια συλλογή μαθηματικών σε οκτώ τόμους, το μεγαλύτερο μέρος των οποίων σώζεται. Καλύπτει ένα ευρύ φάσμα θεμάτων, όπως γεωμετρία, ψυχαγωγικά μαθηματικά, διπλασιασμός του κύβου, πολύγωνα και πολύεδρα.

Ο Πάππος δραστηριοποιήθηκε τον 4ο αιώνα μ.Χ. Σε μια περίοδο γενικής στασιμότητας στις μαθηματικές σπουδές, ξεχωρίζει ως αξιοσημείωτη εξαίρεση. “Πόσο πολύ ήταν πάνω από τους συγχρόνους του, πόσο λίγο εκτιμήθηκε ή κατανοήθηκε από αυτούς, φαίνεται από την απουσία αναφορών σε αυτόν σε άλλους Έλληνες συγγραφείς και από το γεγονός ότι το έργο του δεν είχε κανένα αποτέλεσμα στο να ανακόψει την παρακμή της μαθηματικής επιστήμης”, γράφει ο Thomas Little Heath. “Από αυτή την άποψη η μοίρα του Πάππου μοιάζει εντυπωσιακά με εκείνη του Διόφαντου”.

Στα σωζόμενα γραπτά του, ο Πάππος δεν δίνει καμία ένδειξη για τη χρονολογία των συγγραφέων των οποίων τα έργα χρησιμοποιεί, ούτε για την εποχή (βλ. όμως παρακάτω) κατά την οποία έγραψε ο ίδιος. Αν δεν υπήρχαν άλλες πληροφορίες για τη χρονολογία, το μόνο που θα μπορούσε να γίνει γνωστό θα ήταν ότι ήταν μεταγενέστερος του Πτολεμαίου (πέθανε γύρω στο 168 μ.Χ.), τον οποίο παραθέτει, και προγενέστερος του Πρόκλου (γεννήθηκε γύρω στο 411), ο οποίος τον παραθέτει.

Η Σούδα του 10ου αιώνα αναφέρει ότι ο Πάππος ήταν της ίδιας ηλικίας με τον Θεό της Αλεξάνδρειας, ο οποίος δραστηριοποιήθηκε κατά τη βασιλεία του αυτοκράτορα Θεοδοσίου Α΄ (372-395). Μια διαφορετική χρονολογία δίνεται από μια περιθωριακή σημείωση σε ένα χειρόγραφο των τελών του 10ου αιώνα (αντίγραφο ενός χρονολογικού πίνακα του ίδιου Θέωνα), η οποία αναφέρει, δίπλα σε μια καταχώρηση για τον αυτοκράτορα Διοκλητιανό (βασίλευσε 284-305), ότι “εκείνη την εποχή έγραψε ο Πάππος”.

Ωστόσο, μια επαληθεύσιμη ημερομηνία προέρχεται από τη χρονολόγηση μιας ηλιακής έκλειψης που αναφέρει ο ίδιος ο Πάππος, όταν στο σχόλιό του για την Αλμαγέστη υπολογίζει “τον τόπο και τον χρόνο της συνόδου που προκάλεσε την έκλειψη στην Τύβη το 1068 μετά τον Ναβονασάρ”. Αυτό προκύπτει ως 18 Οκτωβρίου 320, και έτσι ο Πάππος πρέπει να έγραφε γύρω στο 320.

Το μεγάλο έργο του Πάππου, σε οκτώ βιβλία και με τίτλο Συναγωγή ή Συλλογή, δεν έχει διασωθεί σε πλήρη μορφή: το πρώτο βιβλίο έχει χαθεί, και τα υπόλοιπα έχουν υποστεί σημαντικές φθορές. Η Σούδα απαριθμεί άλλα έργα του Πάππου: Χωρογραφία οἰκουμενική (Χορογραφία οἰκουμενικῆς ἤ Περιγραφή τοῦ κατοικημένου κόσμου), σχολιασμός των τεσσάρων βιβλίων της Αλμαγέστης του Πτολεμαίου, Ποταμοὺς τοὺς ἐν Λιβύῃ (Τα ποτάμια τῆς Λιβύης), καὶ Ὀνειροκριτικά (Ἐρμηνεία τῶν ὀνείρων). Ὁ ἴδιος ὁ Πάππος ἀναφέρει ἕνα ἄλλο δικό του σχολιασμὸ στὸ Ἀνάλημμα (Ἀναλήμμα) τοῦ Διόδωρου τοῦ Ἀλεξανδρίου. Ο Πάππος έγραψε επίσης σχόλια για τα Στοιχεία του Ευκλείδη (από τα οποία σώζονται αποσπάσματα στον Πρόκλο και στα Σχολεία, ενώ εκείνο για το δέκατο βιβλίο έχει βρεθεί σε ένα αραβικό χειρόγραφο) και για τα Ἁρμονικά (Αρμονικά) του Πτολεμαίου.

Ο Federico Commandino μετέφρασε τη Συλλογή του Pappus στα λατινικά το 1588. Ο Γερμανός κλασικιστής και ιστορικός των μαθηματικών Friedrich Hultsch (1833-1908) δημοσίευσε μια οριστική τρίτομη παρουσίαση της μετάφρασης του Commandino με την ελληνική και τη λατινική έκδοση (Βερολίνο, 1875-1878). Χρησιμοποιώντας το έργο του Hultsch, ο Βέλγος ιστορικός των μαθηματικών Paul ver Eecke ήταν ο πρώτος που δημοσίευσε μια μετάφραση της Συλλογής σε μια σύγχρονη ευρωπαϊκή γλώσσα- η δίτομη, γαλλική μετάφρασή του έχει τον τίτλο Pappus d”Alexandrie. La Collection Mathématique. (Παρίσι και Μπριζ, 1933).

Τα χαρακτηριστικά της Συλλογής του Πάππου είναι ότι περιέχει μια συστηματικά ταξινομημένη αναφορά των σημαντικότερων αποτελεσμάτων που επιτεύχθηκαν από τους προκατόχους του και, δεύτερον, σημειώσεις που επεξηγούν ή επεκτείνουν τις προηγούμενες ανακαλύψεις. Οι ανακαλύψεις αυτές αποτελούν, στην πραγματικότητα, ένα κείμενο πάνω στο οποίο ο Πάππος επεκτείνεται διαλεκτικά. Ο Heath θεώρησε πολύτιμες τις συστηματικές εισαγωγές στα διάφορα βιβλία, διότι εκθέτουν με σαφήνεια το περίγραμμα του περιεχομένου και το γενικό πεδίο των θεμάτων που θα εξεταστούν. Από αυτές τις εισαγωγές μπορεί κανείς να κρίνει το ύφος της γραφής του Πάππου, το οποίο είναι εξαιρετικό και μάλιστα κομψό τη στιγμή που απαλλάσσεται από τα δεσμά των μαθηματικών τύπων και εκφράσεων. Ο Heath διαπίστωσε επίσης ότι η χαρακτηριστική του ακρίβεια καθιστά τη Συλλογή του “ένα θαυμάσιο υποκατάστατο των κειμένων πολλών πολύτιμων πραγματειών παλαιότερων μαθηματικών, τα οποία ο χρόνος μάς έχει στερήσει”.

Τα εναπομείναντα τμήματα της Συλλογής μπορούν να συνοψιστούν ως εξής.

Μπορούμε μόνο να υποθέσουμε ότι το χαμένο Βιβλίο Ι, όπως και το Βιβλίο ΙΙ, αφορούσε την αριθμητική, ενώ το Βιβλίο ΙΙΙ εισάγεται σαφώς ως αρχή ενός νέου θέματος.

Ολόκληρο το Βιβλίο ΙΙ (το προηγούμενο μέρος του οποίου έχει χαθεί, ενώ το υπάρχον θραύσμα αρχίζει στα μέσα της 14ης πρότασης) συζητά μια μέθοδο πολλαπλασιασμού από ένα ανώνυμο βιβλίο του Απολλώνιου της Πέργης. Οι τελευταίες προτάσεις πραγματεύονται τον πολλαπλασιασμό μαζί των αριθμητικών αξιών των ελληνικών γραμμάτων σε δύο ποιητικές γραμμές, παράγοντας δύο πολύ μεγάλους αριθμούς περίπου ίσους με 2×1054 και 2×1038.

Το βιβλίο ΙΙΙ περιέχει γεωμετρικά προβλήματα, επίπεδα και στερεά. Μπορεί να χωριστεί σε πέντε ενότητες:

Από το βιβλίο IV ο τίτλος και ο πρόλογος έχουν χαθεί, οπότε το πρόγραμμα πρέπει να συγκεντρωθεί από το ίδιο το βιβλίο. Στην αρχή βρίσκεται η γνωστή γενίκευση του Ευκλείδη Ι.47 (θεώρημα εμβαδού του Πάππου), στη συνέχεια ακολουθούν διάφορα θεωρήματα για τον κύκλο, που καταλήγουν στο πρόβλημα της κατασκευής ενός κύκλου που θα περιγράφει τρεις δεδομένους κύκλους, οι οποίοι εφάπτονται μεταξύ τους δύο και δύο. Αυτή και διάφορες άλλες προτάσεις για την επαφή, π.χ. περιπτώσεις κύκλων που αγγίζουν ο ένας τον άλλον και εγγράφονται στο σχήμα που αποτελείται από τρεις ημικύκλους και είναι γνωστό ως αρβέλλος (Ο Πάππος στρέφεται στη συνέχεια σε μια εξέταση ορισμένων ιδιοτήτων της σπείρας του Αρχιμήδη, του κωνοειδούς του Νικομήδη (που ήδη αναφέρεται στο βιβλίο Ι ως παρέχουσα μια μέθοδο διπλασιασμού του κύβου), και της καμπύλης που ανακαλύφθηκε πιθανότατα από τον Ιππία της Ηλείας γύρω στο 420 π.Χ. και είναι γνωστή με το όνομα, τετραγωνισμός, ή τετράγωνο. Η Πρόταση 30 περιγράφει την κατασκευή μιας καμπύλης διπλής καμπυλότητας που ονομάζεται από τον Πάππο έλικα σε μια σφαίρα- περιγράφεται από ένα σημείο που κινείται ομοιόμορφα κατά μήκος του τόξου ενός μεγάλου κύκλου, ο οποίος και ο ίδιος περιστρέφεται ομοιόμορφα γύρω από τη διάμετρό του, το σημείο περιγράφει ένα τεταρτημόριο και ο μεγάλος κύκλος μια πλήρη περιστροφή στον ίδιο χρόνο. Βρίσκεται το εμβαδόν της επιφάνειας που περιλαμβάνεται μεταξύ αυτής της καμπύλης και της βάσης της – η πρώτη γνωστή περίπτωση τετραγωνισμού μιας καμπύλης επιφάνειας. Το υπόλοιπο του βιβλίου πραγματεύεται την τριχοτόμηση μιας γωνίας και την επίλυση γενικότερων προβλημάτων του ίδιου είδους με τη βοήθεια του τετραγώνου και της σπείρας. Σε μια λύση του πρώτου προβλήματος καταγράφεται για πρώτη φορά η χρήση της ιδιότητας μιας κωνικής (υπερβολής) σε σχέση με την εστία και την ευθεία.

Στο Βιβλίο V, μετά από έναν ενδιαφέροντα πρόλογο σχετικά με τα κανονικά πολύγωνα και με παρατηρήσεις σχετικά με την εξαγωνική μορφή των κυττάρων των κηρήθρων, ο Πάππος ασχολείται με τη σύγκριση των εμβαδών διαφόρων επίπεδων σχημάτων που έχουν όλα την ίδια περίμετρο (ακολουθώντας την πραγματεία του Ζηνόδωρου για το θέμα αυτό), και των όγκων διαφόρων στερεών σχημάτων που έχουν όλα την ίδια επιφανειακή επιφάνεια, και, τέλος, με τη σύγκριση των πέντε κανονικών στερεών του Πλάτωνα. Παρεμπιπτόντως, ο Πάππος περιγράφει τα δεκατρία άλλα πολύεδρα που οριοθετούνται από ισόπλευρα και ισόπλευρα αλλά όχι παρόμοια πολύγωνα, τα οποία ανακάλυψε ο Αρχιμήδης, και βρίσκει, με μια μέθοδο που θυμίζει εκείνη του Αρχιμήδη, την επιφάνεια και τον όγκο μιας σφαίρας.

Σύµφωνα µε τον πρόλογο, το Βιβλίο VI προορίζεται να επιλύσει δυσκολίες που εµφανίζονται στα λεγόµενα “Μικρὸς Ἀστρονοµούµενος” (Μικρὸς Ἀστρονοµούµενος), δηλαδή σε έργα άλλα από την Αλµαγέστη. Αντίστοιχα σχολιάζει τη Σφαίρα του Θεοδοσίου, την Κινούµενη Σφαίρα του Αυτόλυκου, το βιβλίο του Θεοδοσίου για την ηµέρα και τη νύχτα, την πραγµατεία του Αρίσταρχου Για το µέγεθος και τις αποστάσεις του ήλιου και της σελήνης, καθώς και την Οπτική και τα φαινόµενα του Ευκλείδη.

Διαβάστε επίσης, βιογραφίες – Άνταμ Σμιθ

Βιβλίο VII

Από τότε που ο Michel Chasles ανέφερε αυτό το βιβλίο του Pappus στην ιστορία των γεωμετρικών μεθόδων του, έχει γίνει αντικείμενο σημαντικής προσοχής.

Στον πρόλογο του Βιβλίου VII εξηγούνται οι όροι ανάλυση και σύνθεση, καθώς και η διάκριση μεταξύ θεωρήματος και προβλήματος. Στη συνέχεια, ο Πάππος απαριθμεί τα έργα του Ευκλείδη, του Απολλώνιου, του Αρισταίου και του Ερατοσθένη, συνολικά τριάντα τρία βιβλία, την ουσία των οποίων προτίθεται να δώσει, με τα λήμματα που είναι απαραίτητα για την επεξήγησή τους. Με την αναφορά των πορισμάτων του Ευκλείδη έχουμε μια περιγραφή της σχέσης του πορίσματος με το θεώρημα και το πρόβλημα. Στον ίδιο πρόλογο περιλαμβάνεται (α) το περίφημο πρόβλημα που είναι γνωστό με το όνομα του Πάππου, το οποίο συχνά διατυπώνεται έτσι: Έχοντας δοθεί ένας αριθμός ευθειών, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος ενός σημείου τέτοιου ώστε τα μήκη των καθέτων επί, ή (γενικότερα) των ευθειών που σχεδιάζονται από αυτό λοξά με δεδομένες κλίσεις προς, τις δεδομένες ευθείες να ικανοποιούν τη συνθήκη ότι το γινόμενο ορισμένων από αυτές μπορεί να φέρει σταθερό λόγο προς το γινόμενο των υπολοίπων, (ο Πάππος δεν το εκφράζει με αυτή τη μορφή αλλά μέσω της σύνθεσης των λόγων, λέγοντας ότι αν δοθεί ο λόγος που συντίθεται από τους λόγους των ζευγών ενός από το ένα σύνολο και ενός από το άλλο των ευθειών που σχεδιάζονται έτσι, και του λόγου του περιττού, αν υπάρχει, προς μια δεδομένη ευθεία, το σημείο θα βρίσκεται σε μια καμπύλη δεδομένης θέσης)- (β) τα θεωρήματα που ανακαλύφθηκαν εκ νέου από τον Paul Guldin και πήραν το όνομά του, αλλά φαίνεται ότι ανακαλύφθηκαν από τον ίδιο τον Πάππο.

Το βιβλίο VII περιέχει επίσης

Η παραπομπή του Chasles στον Πάππο επαναλήφθηκε από τον Wilhelm Blaschke Στο Cambridge της Αγγλίας, ο John J. Milne έδωσε στους αναγνώστες το πλεονέκτημα της ανάγνωσης του Πάππου. Το 1985 ο Alexander Jones έγραψε τη διατριβή του στο Πανεπιστήμιο Brown για το θέμα. Μια αναθεωρημένη μορφή της μετάφρασης και του σχολιασμού του εκδόθηκε από την Springer-Verlag το επόμενο έτος. Ο Jones καταφέρνει να δείξει πώς ο Pappus χειρίστηκε το πλήρες τετράγωνο, χρησιμοποίησε τη σχέση των προβολικών αρμονικών συζυγιών και επέδειξε επίγνωση των διασταυρούμενων σχέσεων σημείων και ευθειών. Επιπλέον, η έννοια του πόλου και του πολικού αποκαλύπτεται ως λήμμα στο βιβλίο VII.

Διαβάστε επίσης, βιογραφίες – Ασπασία

Βιβλίο VIII

Τέλος, το Βιβλίο VIII πραγματεύεται κυρίως τη μηχανική, τις ιδιότητες του κέντρου βάρους και ορισμένες μηχανικές δυνάμεις. Ενδιάμεσα υπάρχουν ορισμένες προτάσεις για την καθαρή γεωμετρία. Η Πρόταση 14 δείχνει πώς να σχεδιάσετε μια έλλειψη μέσω πέντε δοσμένων σημείων, και η Πρόταση 15 δίνει μια απλή κατασκευή για τους άξονες μιας έλλειψης όταν δίνεται ένα ζεύγος συζυγών διαμέτρων.

Η Συλλογή του Πάππου ήταν ουσιαστικά άγνωστη στους Άραβες και τους μεσαιωνικούς Ευρωπαίους, αλλά άσκησε μεγάλη επιρροή στα μαθηματικά του 17ου αιώνα μετά τη μετάφρασή της στα λατινικά από τον Federico Commandino. Η Arithmetica του Διόφαντου και η Συλλογή του Πάππου ήταν οι δύο κύριες πηγές του Isagoge in artem analyticam (1591) του Viète. Το πρόβλημα του Πάππου και η γενίκευσή του οδήγησαν τον Ντεκάρτ στην ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας. Ο Φερμά ανέπτυξε επίσης τη δική του εκδοχή της αναλυτικής γεωμετρίας και τη μέθοδο των μεγίστων και ελαχίστων από τις περιλήψεις του Πάππου των χαμένων έργων του Απολλώνιου Plane Loci και Περί καθορισμένης τομής. Άλλοι μαθηματικοί που επηρεάστηκαν από τον Πάππο ήταν οι Pacioli, da Vinci, Kepler, van Roomen, Pascal, Newton, Bernoulli, Euler, Gauss, Gergonne, Steiner και Poncelet.

Προσδιορισμός:

Πηγές

1. Pappus of Alexandria
2. Πάππος
3. ^ a b Bird, John (14 July 2017). Engineering Mathematics. Taylor & Francis. p. 590. ISBN 978-1-317-20260-8.
4. ^ a b Pierre Dedron, J. Itard (1959) Mathematics And Mathematicians, Vol. 1, p. 149 (trans. Judith V. Field) (Transworld Student Library, 1974)
5. a b  Heath, Thomas Little (1910-1911). «Encyclopædia Britannica». En Chisholm, Hugh, ed. Encyclopædia Britannica. A Dictionary of Arts, Sciences, Literature, and General information (en inglés) (11.ª edición). Encyclopædia Britannica, Inc.; actualmente en dominio público.
6. 1 2 Pappus Alexandrinus // Catalogue of the Library of the Pontifical University of Saint Thomas Aquinas
7. Identifiants et Référentiels (фр.) — ABES, 2011.
8. 1 2 3 4 Боголюбов, 1983, с. 363.
9. En grec ancien Συναγωγή (traduit en français sous le titre de Collection mathématique).
10. Viète, Fermat, Wallis, Simson, etc. Cf. à ce sujet ver Eecke 1933, Introduction.