Constantin Carathéodory

Zusammenfassung

Constantin Carathéodory (13. September 1873 – 2. Februar 1950) war ein griechischer Mathematiker, der den größten Teil seiner beruflichen Laufbahn in Deutschland verbrachte. Er leistete bedeutende Beiträge zur reellen und komplexen Analysis, zur Variationsrechnung und zur Maßtheorie. Er schuf auch eine axiomatische Formulierung der Thermodynamik. Carathéodory gilt als einer der größten Mathematiker seiner Zeit und als der bekannteste griechische Mathematiker seit der Antike.

Er wurde von seinen Kollegen als ein respektabler und kultivierter Mann in Erinnerung behalten.

Constantin Carathéodory wurde 1873 in Berlin als Sohn griechischer Eltern geboren und wuchs in Brüssel auf. Sein Vater Stephanos, ein Jurist, diente als osmanischer Botschafter in Belgien, St. Petersburg und Berlin. Seine Mutter, Despina, geborene Petrokokkinos, stammte von der Insel Chios. Die Familie Carathéodory, die ursprünglich aus Bosnochori oder Vyssa stammte, war in Konstantinopel gut etabliert und geachtet, und ihre Mitglieder bekleideten viele wichtige Regierungsämter.

Die Familie Carathéodory verbrachte die Jahre 1874-75 in Konstantinopel, wo Constantins Großvater väterlicherseits lebte, während sein Vater Stephanos auf Urlaub war. Im Jahr 1875 gingen sie nach Brüssel, als Stephanos dort zum osmanischen Botschafter ernannt wurde. In Brüssel wurde auch Constantins jüngere Schwester Julia geboren. Das Jahr 1879 war ein tragisches Jahr für die Familie, denn in diesem Jahr starb Constantins Großvater väterlicherseits, aber noch viel tragischer war, dass Constantins Mutter Despina in Cannes an einer Lungenentzündung starb. Constantins Großmutter mütterlicherseits übernahm die Aufgabe, Constantin und Julia im Haus seines Vaters in Belgien zu erziehen. Sie stellten ein deutsches Dienstmädchen ein, das den Kindern Deutsch beibrachte. Constantin war zu diesem Zeitpunkt bereits zweisprachig in Französisch und Griechisch.

Constantin begann seine formale Schulausbildung 1881 an einer Privatschule in Vanderstock. Er verließ die Schule nach zwei Jahren und verbrachte dann einige Zeit mit seinem Vater in Berlin und verbrachte die Winter 1883-84 und 1884-85 an der italienischen Riviera. 1885 kehrte er nach Brüssel zurück und besuchte ein Jahr lang ein Gymnasium, wo er begann, sich für die Mathematik zu interessieren. 1886 trat er in das Gymnasium Athénée Royal d“Ixelles ein und studierte dort bis zu seinem Abschluss im Jahr 1891. Während seiner Zeit an dieser Schule gewann Constantin zweimal einen Preis als bester Mathematikschüler in Belgien.

Zu diesem Zeitpunkt begann Carathéodory eine Ausbildung zum Militäringenieur. Er besuchte die École Militaire de Belgique von Oktober 1891 bis Mai 1895 und studierte außerdem von 1893 bis 1896 an der École d“Application. Im Jahr 1897 brach ein Krieg zwischen dem Osmanischen Reich und Griechenland aus. Dies brachte Carathéodory in eine schwierige Lage, da er auf der Seite der Griechen stand, sein Vater jedoch der Regierung des Osmanischen Reiches diente. Da er ein ausgebildeter Ingenieur war, wurde ihm eine Stelle im britischen Kolonialdienst angeboten. Diese Stelle führte ihn nach Ägypten, wo er bis April 1900 am Bau des Assiut-Damms arbeitete. In den Zeiten, in denen die Bauarbeiten wegen Überschwemmungen unterbrochen werden mussten, studierte er Mathematik anhand einiger Lehrbücher, die er bei sich hatte, wie Jordans Cours d“Analyse und Salmons Text über die analytische Geometrie der Kegelschnitte. Er besuchte auch die Cheops-Pyramide und führte Messungen durch, die er aufschrieb und 1901 veröffentlichte. Im selben Jahr veröffentlichte er auch ein Buch über Ägypten, das eine Fülle von Informationen über die Geschichte und Geographie des Landes enthält.

Carathéodory studierte in Belgien Ingenieurwesen an der Königlichen Militärakademie, wo er als charismatischer und brillanter Student galt.

Doktoranden

Carathéodory hatte etwa 20 Doktoranden, darunter Hans Rademacher, bekannt für seine Arbeiten zur Analysis und Zahlentheorie, und Paul Finsler, bekannt für die Schaffung des Finsler-Raums.

Akademische Kontakte in Deutschland

Carathéodorys Kontakte in Deutschland waren zahlreich und umfassten so berühmte Namen wie: Hermann Minkowski, David Hilbert, Felix Klein, Albert Einstein, Edmund Landau, Hermann Amandus Schwarz, Lipót Fejér. Während der schwierigen Zeit des Zweiten Weltkriegs waren Perron und Tietze seine engen Mitarbeiter an der Bayerischen Akademie der Wissenschaften.

Einstein, damals Mitglied der Preußischen Akademie der Wissenschaften in Berlin, arbeitete an seiner allgemeinen Relativitätstheorie, als er sich an Carathéodory wandte und um Klärung der Hamilton-Jacobi-Gleichung und der kanonischen Transformationen bat. Er wollte eine zufriedenstellende Herleitung der Hamilton-Jacobi-Gleichung und der kanonischen Transformationen sehen und den Ursprung der kanonischen Transformationen erfahren. Einstein sagte Carathéodory, seine Herleitung sei „schön“ und empfahl ihre Veröffentlichung in den Annalen der Physik. Einstein verwendete die erstgenannte Herleitung 1917 in einem Aufsatz mit dem Titel Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein. Carathéodory erläuterte einige grundlegende Details der kanonischen Transformationen und verwies Einstein auf E.T. Whittaker“s Analytical Dynamics. Einstein versuchte, das Problem der „geschlossenen Zeitlinien“ oder der Geodäten zu lösen, die der geschlossenen Flugbahn des Lichts und der freien Teilchen in einem statischen Universum entsprechen, das er 1917 eingeführt hatte.

Landau und Schwarz weckten sein Interesse für das Studium der komplexen Analysis.

Akademische Kontakte in Griechenland

Während seines Aufenthalts in Deutschland unterhielt Carathéodory zahlreiche Verbindungen zur griechischen akademischen Welt, über die Georgiadou in ihrem Buch ausführlich berichtet. Er war unmittelbar an der Reorganisation der griechischen Universitäten beteiligt. Ein besonders enger Freund und Kollege in Athen war Nicolaos Kritikos, der seine Vorlesungen in Göttingen besucht hatte, später mit ihm nach Smyrna ging und dann Professor am Athener Polytechnikum wurde. Kritikos und Carathéodory halfen dem griechischen Topologen Christos Papakyriakopoulos, 1943 unter sehr schwierigen Umständen an der Universität Athen in Topologie zu promovieren. Während seiner Lehrtätigkeit an der Universität Athen hatte Carathéodory als Student Evangelos Stamatis, der sich später als Gelehrter der altgriechischen mathematischen Klassiker einen Namen machte.

Variationsrechnung

In seiner Dissertation zeigte Carathéodory, wie man Lösungen auf diskontinuierliche Fälle ausdehnt und untersuchte isoperimetrische Probleme.

Zuvor, zwischen Mitte des 17. und Mitte des 18. Jahrhunderts, konnten Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre und Carl Gustav Jacob Jacobi notwendige, aber unzureichende Bedingungen für die Existenz eines starken relativen Minimums aufstellen. Im Jahr 1879 fügte Karl Weierstraß eine vierte hinzu, die tatsächlich die Existenz einer solchen Menge garantiert. Carathéodory konstruierte seine Methode zur Ableitung hinreichender Bedingungen auf der Grundlage der Hamilton-Jacobi-Gleichung, um ein Feld von Extremwerten zu konstruieren. Die Ideen sind eng mit der Lichtausbreitung in der Optik verbunden. Die Methode wurde als Carathéodorys Methode der äquivalenten Variationsprobleme oder als Königsweg zur Variationsberechnung bekannt. Ein wesentlicher Vorteil von Carathéodorys Arbeit zu diesem Thema ist, dass sie die Beziehung zwischen der Variationsrechnung und partiellen Differentialgleichungen beleuchtet. Sie ermöglicht eine schnelle und elegante Ableitung von Suffizienzbedingungen in der Variationsrechnung und führt direkt zur Euler-Lagrange-Gleichung und der Weierstraß-Bedingung. Er veröffentlichte seine Variationsrechnung und Partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung im Jahr 1935.

In jüngerer Zeit wurde Carathéodorys Arbeit über die Variationsrechnung und die Hamilton-Jacobi-Gleichung in die Theorie der optimalen Steuerung und der dynamischen Programmierung aufgenommen. Die Methode kann auch auf Mehrfachintegrale ausgedehnt werden.

Konvexe Geometrie

Der Satz von Carathéodory in der konvexen Geometrie besagt, dass, wenn ein Punkt x{displaystyle x} von Rd{displaystyle mathbb {R} ^{d}} in der konvexen Hülle einer Menge P{displaystyle P} liegt, dann kann x{displaystyle x} als die konvexe Kombination von höchstens d+1{displaystyle d+1} Punkten in P{displaystyle P} geschrieben werden. Das heißt, es gibt eine Teilmenge P′{displaystyle P“} von P{displaystyle P}, die aus d+1{displaystyle d+1} oder weniger Punkten besteht, so dass x{displaystyle x} in der konvexen Hülle von P′{displaystyle P“} liegt. Äquivalent dazu liegt x{displaystyle x} in einem r{displaystyle r}-Simplex mit Scheitelpunkten in P{displaystyle P}, wobei r≤d{displaystyle rleq d}. Das kleinste r{displaystyle r}, das die letzte Aussage für jedes x{displaystyle x} in der konvexen Hülle von P gültig macht, ist definiert als die Carathéodory“sche Zahl von P{displaystyle P}. Abhängig von den Eigenschaften von P{displaystyle P} können obere Schranken erhalten werden, die niedriger sind als die des Carathéodory-Satzes.

Ihm wird die Urheberschaft der Carathéodory-Vermutung zugeschrieben, die besagt, dass eine geschlossene konvexe Oberfläche mindestens zwei Nabelpunkte zulässt. Bis zum Jahr 2021 blieb diese Vermutung unbewiesen, obwohl sie eine große Menge an Forschung angezogen hat.

Reale Analyse

Er bewies ein Existenz-Theorem für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen unter milden Regularitätsbedingungen.

Ein weiteres Theorem von ihm über die Ableitung einer Funktion in einem Punkt könnte verwendet werden, um die Kettenregel und die Formel für die Ableitung der inversen Funktionen zu beweisen.

Komplexe Analyse

Er erweiterte die Theorie der konformen Transformation erheblich, indem er sein Theorem über die Ausdehnung der konformen Abbildung auf den Rand von Jordan-Domänen bewies. Bei der Untersuchung der Randkorrespondenz begründete er die Theorie der Primzahlenden. Er lieferte einen elementaren Beweis für das Schwarz-Lemma.

Carathéodory interessierte sich auch für die Theorie der Funktionen von mehreren komplexen Variablen. In seinen Untersuchungen zu diesem Thema suchte er nach Analogien zu klassischen Ergebnissen aus dem einvariablen Fall. Er bewies, dass eine Kugel in C2{displaystyle mathbb {C} ^{2}} nicht holomorph äquivalent zur Bidisk ist.

Theorie der Messung

Ihm wird das Carathéodory-Erweiterungstheorem zugeschrieben, das für die moderne Maßtheorie grundlegend ist. Später erweiterte Carathéodory die Theorie von Mengen auf Boolesche Algebren.

Thermodynamik

Die Thermodynamik war für Carathéodory seit seiner Zeit in Belgien ein wichtiges Thema. Im Jahr 1909 veröffentlichte er ein bahnbrechendes Werk „Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik“, in dem er den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik axiomatisch formulierte, d. h. ohne den Einsatz von Carnot-Motoren und Kühlschränken und nur durch mathematische Überlegungen. Dies ist eine weitere Version des zweiten Hauptsatzes, neben den Aussagen von Clausius, Kelvin und Planck. Die Version von Carathéodory erregte die Aufmerksamkeit einiger der besten Physiker der damaligen Zeit, darunter Max Planck, Max Born und Arnold Sommerfeld. In Bailyns Überblick über die Thermodynamik wird Carathéodorys Ansatz als „mechanisch“ und nicht als „thermodynamisch“ bezeichnet. Max Born lobte diese „erste axiomatisch starre Grundlage der Thermodynamik“ und brachte seine Begeisterung in seinen Briefen an Einstein zum Ausdruck. Max Planck hatte jedoch einige Bedenken, da er zwar von Carathéodorys mathematischen Fähigkeiten beeindruckt war, aber angesichts des statistischen Charakters des zweiten Hauptsatzes nicht akzeptierte, dass dies eine grundlegende Formulierung war.

In seiner Theorie vereinfachte er die grundlegenden Konzepte, zum Beispiel ist Wärme kein wesentliches Konzept, sondern ein abgeleitetes. Er formulierte den axiomatischen Grundsatz der Irreversibilität in der Thermodynamik, der besagt, dass die Unzugänglichkeit von Zuständen mit der Existenz von Entropie zusammenhängt, wobei die Temperatur die Integrationsfunktion ist. Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik wurde durch das folgende Axiom ausgedrückt: „In der Nachbarschaft eines beliebigen Anfangszustandes gibt es Zustände, die nicht durch adiabatische Zustandsänderungen beliebig nahe erreicht werden können.“ In diesem Zusammenhang prägte er den Begriff der adiabatischen Zugänglichkeit.

Optik

Carathéodorys Arbeiten in der Optik sind eng mit seiner Methode der Variationsrechnung verbunden. Im Jahr 1926 erbrachte er einen strengen und allgemeinen Beweis dafür, dass kein System von Linsen und Spiegeln die Aberration vermeiden kann, mit Ausnahme des trivialen Falles von ebenen Spiegeln, und in seinem späteren Werk gab er die Theorie des Schmidt-Teleskops. In seiner Geometrischen Optik (1937) wies Carathéodory die Gleichwertigkeit des Huygens“schen Prinzips und des Fermat“schen Prinzips nach, wobei er von ersterem ausging und die Cauchy“sche Charakteristikentheorie verwendete. Er argumentierte, dass ein wichtiger Vorteil seines Ansatzes darin besteht, dass er die integralen Invarianten von Henri Poincaré und Élie Cartan abdeckt und das Malus-Gesetz vervollständigt. Er erläuterte, dass Pierre de Fermat bei seinen Untersuchungen in der Optik ein Minimalprinzip konzipiert hat, das dem von Hero von Alexandria zur Untersuchung der Reflexion verkündeten Prinzip ähnelt.

Historisch

Während des Zweiten Weltkriegs bearbeitete Carathéodory zwei Bände von Eulers Gesamtwerk, die sich mit der Variationsrechnung befassten und 1946 zur Veröffentlichung eingereicht wurden.

Zu dieser Zeit war Athen das einzige größere Bildungszentrum in der Region und verfügte nur über begrenzte Kapazitäten, um den wachsenden Bildungsbedarf im östlichen Teil der Ägäis und auf dem Balkan zu decken. Constantin Carathéodory, der damals Professor an der Universität Berlin war, schlug die Gründung einer neuen Universität vor – die Schwierigkeiten bei der Gründung einer griechischen Universität in Konstantinopel veranlassten ihn, drei andere Städte in Betracht zu ziehen: Thessaloniki, Chios und Smyrna.

Auf Einladung des griechischen Premierministers Eleftherios Venizelos legte er am 20. Oktober 1919 einen Plan für die Gründung einer neuen Universität in Smyrna in Kleinasien vor, die den Namen Ionische Universität von Smyrna tragen sollte. Im Jahr 1920 wurde Carathéodory zum Dekan der Universität ernannt und beteiligte sich maßgeblich am Aufbau der Einrichtung, indem er Europa bereiste, um Bücher und Ausrüstung zu kaufen. Aufgrund des Krieges in Kleinasien, der mit dem großen Brand von Smyrna endete, nahm die Universität jedoch nie wirklich Studenten auf. Carathéodory gelang es, Bücher aus der Bibliothek zu retten und wurde erst im letzten Moment von einem Journalisten gerettet, der ihn mit einem Ruderboot auf das bereitstehende Kriegsschiff Naxos brachte. Carathéodory brachte einen Teil der Universitätsbibliothek nach Athen und blieb in Athen, wo er bis 1924 an der Universität und der Technischen Schule lehrte.

1924 wurde Carathéodory als Professor für Mathematik an die Universität München berufen, wo er bis zu seiner Emeritierung im Jahr 1938 tätig war. Später war er bis zu seinem Tod im Jahr 1950 an der Bayerischen Akademie der Wissenschaften tätig.

Die neue griechische Universität im erweiterten südöstlichen Mittelmeerraum, wie sie ursprünglich von Carathéodory geplant war, wurde schließlich 1925 mit der Gründung der Aristoteles-Universität Thessaloniki verwirklicht.

Carathéodory zeichnete sich, wie viele Mitglieder seiner Familie, durch seine Sprachkenntnisse aus. Griechisch und Französisch waren seine ersten Sprachen, und er beherrschte Deutsch mit solcher Perfektion, dass seine in deutscher Sprache verfassten Schriften stilistische Meisterwerke sind. Carathéodory sprach und schrieb auch mühelos Englisch, Italienisch, Türkisch und die alten Sprachen. Dieses beeindruckende sprachliche Arsenal ermöglichte es ihm, auf seinen zahlreichen Reisen direkt mit anderen Mathematikern zu kommunizieren und Ideen auszutauschen, und erweiterte sein Wissensgebiet erheblich.

Vielmehr war Carathéodory ein geschätzter Gesprächspartner für seine Professorenkollegen an der Münchner Philosophischen Fakultät. Der angesehene deutsche Philologe und Professor für alte Sprachen Kurt von Fritz lobte Carathéodory mit den Worten, dass man von ihm unendlich viel über das alte und neue Griechenland, die altgriechische Sprache und die hellenische Mathematik lernen könne. Fritz führte zahlreiche philosophische Gespräche mit Carathéodory.

Im Haus von Carathéodory wurde ausschließlich Griechisch gesprochen – sein Sohn Stephanos und seine Tochter Despina besuchten ein deutsches Gymnasium, erhielten aber täglich zusätzlichen Unterricht in griechischer Sprache und Kultur von einem griechischen Priester. Zu Hause durften sie keine andere Sprache sprechen.

Carathéodory war ein begabter öffentlicher Redner und wurde oft eingeladen, Vorträge zu halten. Im Jahr 1936 war er es, der auf der Tagung des Internationalen Mathematikerkongresses in Oslo, Norwegen, die ersten Fields-Medaillen überreichte.

In Anerkennung seiner Leistungen benannte die Universität München 2002 einen der größten Hörsäle des mathematischen Instituts in Constantin-Carathéodory-Hörsaal um.

In der Stadt Nea Vyssa, aus der die Familie Caratheodory stammte, befindet sich das einzigartige Museum der Familie Caratheodory. Das Museum befindet sich auf dem zentralen Platz der Stadt in der Nähe der Kirche und beherbergt viele persönliche Gegenstände von Konstantin sowie Briefe, die er mit A. Einstein ausgetauscht hat. Für weitere Informationen besuchen Sie die Original-Website des Clubs http:

Der Koordinator des Museums, Athanasios Lipordezis (Αθανάσιος Λιπορδέζης), wies darauf hin, dass das Museum Originalmanuskripte des Mathematikers von etwa 10.000 Seiten beherbergt, darunter die Korrespondenz von Carathéodory mit dem deutschen Mathematiker Arthur Rosenthal über die Algebraisierung des Maßes. Außerdem können die Besucher in den Vitrinen die Bücher „Gesammelte mathematische Schriften Band 1,2,3,4“, „Masse und ihre Algebraiserung“, „Reelle Functionen Band 1“, „Zahlen

Die Bemühungen, das Museum mit weiteren Exponaten auszustatten, dauern an.

Zeitschriftenartikel

Eine vollständige Liste von Carathéodorys Veröffentlichungen in Zeitschriftenartikeln findet sich in seinen Gesammelten Werken (Ges. Math. Schr.). Bemerkenswerte Veröffentlichungen sind:

Enzyklopädien und Nachschlagewerke

Konferenzen

Quellen

  1. Constantin Carathéodory
  2. Constantin Carathéodory
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