Евклид

Dimitris Stamatios | март 14, 2023

Резюме

Евклид (на гръцки Εὐκλείδης, Eukleidēs, на латински Euclīdēs) е гръцки математик и геометрик (ок. 325 г. пр.н.е. – ок. 265 г. пр.н.е.). Известен е като „бащата на геометрията“. Работи в Александрия (Древен Египет) по времето на Птолемей I Сотер (323 – 283 г. пр. н. е.). Основател е на математическата школа в града.

Най-известното му произведение е „Елементи“, което често се смята за най-успешния учебник в историята на математиката. Свойствата на геометричните обекти и естествените числа се извеждат от малък набор аксиоми. Това произведение, един от най-старите известни трактати, който систематично представя с доказателства голям набор от теореми по геометрия и теоретична аритметика, е претърпяло стотици издания на всички езици, а темите му остават в основата на обучението по математика на средно ниво в много страни. Името на Евклид произлиза от алгоритъма на Евклид, Евклидовата геометрия (и неевклидовата геометрия) и Евклидовото деление. Той пише също така за перспективата, коничните сечения, сферичната геометрия и теорията на числата.

Животът му е малко известен, тъй като е живял в Александрия (град в Северен Египет) по време на управлението на Птолемей I. Някои арабски автори твърдят, че Евклид е роден в Тир и е живял в Дамаск. Определени арабски автори твърдят, че Евклид е роден в Тир и е живял в Дамаск. Няма пряк източник за живота на Евклид: нито писмо, нито автобиографично указание (дори под формата на предговор в произведение), нито официален документ, нито дори намек от някой от съвременниците му. Както обобщава историкът на математиката Петер Шрайбер, „за живота на Евклид не е известен нито един сигурен факт. Той е бил син на Наукрат и са изказани три хипотези:

Евклид вероятно е учил в Академията на Платон, където е усвоил основите на своите знания.

Прокъл, последният от великите гръцки философи, живял около 450 г., е написал важни коментари към книга I на „Елементи“. Тези коментари представляват ценен източник на информация за историята на гръцката математика. Така например знаем, че Евклид е събрал мненията на Евдокс от Книд за теорията на пропорциите и на Теает за правилните полиедри.

Най-старото известно съчинение за живота на Евклид се съдържа в резюме на историята на геометрията, написано през V в. от н.е. от философа неоплатоник Прокъл, коментатор на първата книга на „Елементи“. Самият Прокъл не дава никакъв източник за своите сведения. Той казва само: „събира своите Елементи и извиква в неопровержими демонстрации онова, което неговите предшественици са преподавали по спокоен начин. От друга страна, този човек е живял при първия Птолемей, тъй като Архимед споменава Евклид. Следователно Евклид е по-нов от учениците на Платон, но по-стар от Архимед и Ератостен“.

Ако се приеме хронологията, дадена от Прокъл, Евклид е живял между Платон и Архимед и е бил съвременник на Птолемей I около 300 г. пр.н.е.

Нито един документ не противоречи на тези няколко изречения, нито пък ги потвърждава. Директното споменаване от Евклид на трудовете на Архимед идва от пасаж, който се смята за съмнителен.

Архимед се позовава на някои резултати от „Елементи“ и на един острах, намерен на остров Елефантин и датиран от III в. пр.н.е.: в него се разглеждат фигури, изучавани в книга XIII на „Елементи“, като декагон и икосаедър, но без да се възпроизвеждат точно Евклидовите твърдения; следователно те биха могли да произхождат от източници преди Евклид. Приблизителната дата 300 г. пр. н. е. обаче се смята за съвместима с анализа на съдържанието на Евклидовия труд и е възприетата от историците на математиката.

От друга страна, съществува алюзия на математика Папо от Александрия, който предполага, че учениците на Евклид ще да са преподавали в Александрия. Някои автори свързват Евклид с Музейона на Александрия на тази основа, но той не фигурира в нито един официален документ. Епитетът, който често се свързва с Евклид в древността, е просто Stoitxeiotes, авторът на „Елементи“.

Няколко анекдота се разпространяват за Евклид, но тъй като се появяват и за други математици, не се смятат за реални: например известният анекдот, обяснен от Прокъл, според който Евклид щял да отговори на Птолемей, който искал по-лесен път от този на Елементите, че в геометрията няма истински пътища; вариант на същия анекдот се приписва и на Менекмус и Александър Велики. По подобен начин от късната античност към разказите за живота на Евклид се добавят различни подробности, без нови източници, а често и по противоречив начин. Някои автори смятат, че Евклид е роден в Тир, други – в Гела; приписват му се различни родословия, конкретни учители, различни дати на раждане и смърт, за да се спазят правилата на жанра или за да се облагодетелстват определени тълкувания. През Средновековието и в началото на Ренесанса математикът Евклид често е бъркан със съвременния на Платон философ Евклид от Мегара.

Споменавания на произведения, приписвани на Евклид, се появяват у няколко автори, по-специално в Математическия сборник на Пап (обикновено датиран от III или IV в.) и в Коментара на елементите на Евклид от Прокъл. Само част от тези произведения са оцелели до наши дни.

До нас са достигнали пет съчинения: „Данни“, „За разделенията“, „Катоптрика“, „Небесни явления“ и „Оптика“. От арабски източници на Евклид се приписват няколко трактата по механика. В „За тежкото и лекото“ в девет дефиниции и пет предложения се съдържат аристотеловите понятия за движението на телата и понятието за специфична тежест. В „За равновесието“ теорията на лоста е разгледана също по аксиоматичен начин, с едно определение, две аксиоми и четири предложения. Третият фрагмент, посветен на кръговете, описани от краищата на подвижен лост, съдържа четири предложения. Тези три съчинения се допълват по такъв начин, че се предполага, че те са останки от един трактат по механика, написан от Евклид.

Елементите

Неговите „Елементи“ са едно от най-известните научни произведения в света и представляват компилация от знанията, преподавани в академичния свят по онова време. Както понякога се смята, „Елементи“ не е сборник на всички геометрични знания, а по-скоро въвеждащ текст, обхващащ цялата елементарна математика, т.е. аритметика, синтетична геометрия и алгебра.

Елементите са разделени на тринадесет книги или глави, от които първите половин дузина са посветени на елементарната равнинна геометрия, следващите три – на теорията на числата, книга Х – на несъизмеримите величини, а последните три – главно на геометрията на твърдите тела.

В книгите, посветени на геометрията, изучаването на свойствата на линиите и равнините, кръговете и сферите, триъгълниците и конусите и т.н., т.е. на правилните форми, е представено по формален начин, като се изхожда само от пет постулата. Вероятно нито един от резултатите в „Елементи“ не е демонстриран за първи път от Евклид, но организацията на материала и неговото изложение несъмнено се дължат на него. Всъщност има много доказателства, че при написването на „Елементи“ Евклид е използвал по-ранни учебници, тъй като той представя голям брой определения, които не са използвани, като например това за продълговат, ромб и ромбоид. Теоремите на Евклид са тези, които обикновено се изучават в съвременното училище. Ще цитираме някои от най-известните:

В книги VII, VIII и IX на „Елементи“ се разглежда теорията за делимостта. Разглеждат се връзката между идеалните числа и първите числа на Мерсен (известна като теорема на Евклид-Ойлер), безкрайността на простите числа (теорема на Евклид), лемата на Евклид за факторизацията (която води до фундаменталната теорема на аритметиката за уникалността на факторизациите на първичните числа) и алгоритъма на Евклид за намиране на най-големия общ делител на две числа.

Геометрията на Евклид, освен че е мощен инструмент за дедуктивни разсъждения, е изключително полезна в много области на знанието, например във физиката, астрономията, химията и различни инженерни области. Тя със сигурност е много полезна в математиката. Вдъхновени от хармонията на изложението на Евклид, през II в. е формулирана Птолемеевата теория за Вселената, според която Земята е център на Вселената, а планетите, Луната и Слънцето се въртят около нея по съвършени линии, т.е. окръжности и комбинации от окръжности. Въпреки това идеите на Евклид представляват значителна абстракция от реалността. Например той приема, че точката няма големина; че линията е съвкупност от точки, които нямат нито ширина, нито дебелина, а само дължина; че повърхнината няма дебелина и т.н. Тъй като според Евклид точката няма размер, тя има измерение нула. Линията има само дължина, така че тя придобива размер, равен на единица. Повърхността няма дебелина, нито височина, така че тя има измерение две: ширина и дължина. И накрая, твърдо тяло, например куб, има измерение три: дължина, ширина и височина. Евклид се опитва да обобщи всички математически знания в книгата си „Елементи“. Геометрията на Евклид е труд, който остава непроменен до XIX век.

От началните аксиоми само аксиомата за паралелите изглеждаше по-малко очевидна. Различни математици безуспешно се опитваха да се откажат от тази аксиома, като се опитваха да я изведат от останалите аксиоми. Те се опитаха да я представят като теорема, без да успеят.

И накрая, някои автори създават нови геометрии, като отменят или заменят аксиомата за паралелите, което води до появата на „неевклидови геометрии“. Основната характеристика на тези геометрии е, че чрез промяна на аксиомата за паралелите ъглите на един триъгълник вече не се събират на 180 градуса.

Данните (Δεδομένα) са единственото друго произведение на Евклид, което се занимава с геометрия и от което е запазена гръцка версия (има го например в ръкописа X, открит от Пейрар). То е описано подробно и в книга VII от Математическия сборник на Папо, „Съкровищница на анализа“, тясно свързана с първите четири книги на Елементите. В нея се разглежда видът на информацията, която се дава в геометричните задачи, и нейното естество. Данните са поставени в рамките на равнинната геометрия и се разглеждат от историците като допълнение към „Елементи“, във форма, по-подходяща за анализ на задачи. Трудът съдържа 15 определения и обяснява какво означава геометричен обект, в положение, във форма, в размер, както и 94 теореми. В тях се обяснява, че ако са дадени някои елементи на дадена фигура, могат да се определят други отношения или елементи.

За разделенията

Този труд (има части на латински (De divisionibus), но преди всичко има ръкопис на арабски език, открит през XIX в., който съдържа 36 пропозиции, четири от които са доказани.

Той се занимава с разделянето на геометрични фигури на две или повече равни части или на части с дадени пропорции. Той е подобен на съчинението на Херон Александрийски от III в. от н.е. В този труд той се опитва да построи прави линии, които разделят дадени фигури на дадени пропорции и форми. Например, ако е даден триъгълник и точка в него, трябва да се построи права, минаваща през точката и разрязваща триъгълника на две фигури с еднаква площ; или ако е даден кръг, трябва да се построят две успоредни прави, така че частта от кръга, която ограничават, да представлява една трета от площта на кръга.

За заблудите (Pseudaria)

За заблудите (Περὶ Ψευδαρίων), текст за грешките в разсъжденията, е изгубено произведение, известно само от описанието, дадено от Прокъл. Според него целта на произведението е била да приучи начинаещите да откриват лъжливите разсъждения, по-специално тези, които имитират дедуктивни разсъждения и по този начин имат вид на истина. Той дава примери за паралелогизми.

Четири книги за конични сечения

Четири книги за коничните сечения (Κωνικῶν Βιβλία) вече е изгубена. Това е съчинение за коничните сечения, което Аполоний от Перга доразвива в известната си книга на същата тема. Вероятно първите четири книги от труда на Аполоний са взети директно от Евклид. Според Папо „Аполоний, след като завършил четирите книги на Евклид за коничните отсечки и добавил още четири, оставил осем тома за коничните отсечки“. Кониката на Аполоний бързо заменила оригиналния труд и по времето на Папо трудът на Евклид бил изгубен.

Три книги с поризми

Три книги за поризмите (Πορισμάτων Βιβλία) може би са продължение на работата му върху коничните сечения, но смисълът на заглавието не е ясен. Това е труд, който е изгубен. Трудът е извикан в два пасажа на Прокъл и най-вече е предмет на дълго представяне в книга VII на Папския сборник, „Съкровищницата на анализа“, като значим и мащабен пример за аналитичен подход. Думата поризма има няколко употреби: според Папю тя би обозначила тук твърдение от междинен тип между теоремите и проблемите. Трудът на Евклид би трябвало да съдържа 171 такива твърдения и 38 леми. Папос дава примери, като например: „ако, тръгвайки от две дадени точки, се начертаят прави, пресичащи дадена права, и ако едната от тях изреже отсечка върху дадена права, другата ще направи същото върху друга права, като между двете отсечки има фиксирано отношение. Тълкуването на точното значение на това какво е поризъм и евентуалното възстановяване на всички или на част от твърденията на Евклид от информацията, оставена от Пап, е занимавало много математици: най-известните опити са тези на Пиер Ферма през XVII век, на Робърт Симсон през XVIII век и най-вече на Мишел Шаслес през XIX век. Ако реконструкцията на Шаслес днес не се приема сериозно от историците като такава, то тя е дала възможност на математика да развие понятието за анармонично отношение.

Две книги за геометричните места

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β“ е за геометрични места върху повърхности или геометрични места, които сами по себе си са повърхности. В по-късна интерпретация се изказва хипотезата, че произведението може да е било за квадрични повърхности. Става дума и за изгубено съчинение от две книги, споменато в анализа на съкровищницата на Пап. Указанията, дадени у Прокъл или Паппус за тези места на Евклид, са двусмислени и точният въпрос, зададен в произведението, не е известен. В традицията на древногръцката математика местата са множества от точки, които потвърждават дадено свойство. Тези множества често са прави линии или конични сечения, но могат да бъдат и плоски повърхности, например. Повечето историци смятат, че местата на Евклид могат да бъдат повърхности на въртене, сфери, конуси или цилиндри.

Облик на небето

Явленията на небето или феномените (# Φαινόμενα) е трактат по позиционна астрономия, който е запазен на гръцки език. Той е доста подобен на съчинението на Автолит („За понятието сфера“) и обсъжда приложението на геометрията на сферата в астрономията и е запазен на гръцки език в няколко ръкописни версии, най-старата от които датира от X век. Този текст обяснява така наречената „малка астрономия“, за разлика от темите, разглеждани в Голямото съчинение на Птолемей (Алмагест). Той съдържа 18 предложения и е близък до запазените съчинения по същата тема на Автолит от Питане.

Оптика

Оптиката (Ὀπτικά) е най-старият запазен гръцки трактат в няколко варианта, посветен на проблеми, които днес бихме нарекли перспектива, и очевидно предназначен за използване в астрономията, има формата на Елементи: представлява продължение на 58 положения, чието доказателство се основава на определения и постулати, посочени в началото на текста. В определенията си Евклид следва платоновата традиция, според която зрението се дължи на лъчи, излизащи от окото. Евклид описва видимата големина на даден обект в зависимост от разстоянието до окото и изследва видимите форми на цилиндри и конуси, когато се гледат под различен ъгъл.

Евклид показва, че видимите размери на еднакви обекти не са пропорционални на разстоянието до окото ни (твърдение 8). Той обяснява например нашето виждане на сфера (и други прости повърхности): окото вижда по-малка повърхност в средата на сферата, още по-малка част, когато сферата се приближава, дори ако вижданата повърхност изглежда по-голяма, а контурът на вижданата е кръг. Трактатът по-специално противоречи на мнението, защитавано в някои мисловни школи, според което реалната големина на обектите (в частност на небесните тела) е тяхната видима големина, тази, която се вижда.

Папо смята, че тези резултати са важни за астрономията, и включва „Оптиката“ на Евклид, заедно с неговите „Феномени“, в сборник от второстепенни произведения, които трябва да се изучават преди „Алмагест“ на Клавдий Птолемеу.

Трактат за музиката

Прокъл приписва на Евклид трактат за музиката (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), която, подобно на астрономията, теоретичната музика, например под формата на приложна теория на пропорциите, е сред математическите науки. На гръцки език са запазени две малки съчинения, които са били включени в древните издания на Евклид, но тяхното отсъждане е несигурно, както и възможните им връзки с Елементите. От друга страна, двете съчинения (Раздел от канона за музикалните интервали и Въведение в хармонията) се смятат за противоречиви, а поне второто сега се смята от учените за дело на друг автор.

Произведения, погрешно приписвани на Евклид

Катоптриката (Κατοητρικά) се занимава с математическата теория на огледалата, по-специално с образите, образувани от вдлъбнати равнинни и сферични огледала. Приписването ѝ на Евклид е съмнително; възможно е авторът ѝ да е Теон Александрийски. Тя се появява в текста на Евклид за оптиката и в коментара на Прокъл. Сега се смята за изгубена, и по-специално Catoptricus, дълго време публикувана като продължение на Оптиката в древните издания, вече не се приписва на Евклид; смята се за по-късна компилация.

Евклид се споменава и като автор на фрагменти, свързани с механиката, по-специално в текстове за лоста и везната, в някои латински или арабски ръкописи. Понастоящем атрибуцията се смята за съмнителна.

Други препратки

Източници

1. Euclides
2. Евклид
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
5. ^ Ball, pp. 50–62.
6. ^ Boyer, pp. 100–119.
7. ^ Macardle, et al. (2008). Scientists: Extraordinary People Who Altered the Course of History. New York: Metro Books. g. 12.
8. ^ Lolli, p. 16.
9. ^ Boyer, p. 123.
10. Natorp P. Diokleides 4 (нем.) // Kategorie:RE:Band V,1 — 1903.
11. Зубов, 2007, с. 510.
12. Евклид // Математический энциклопедический словарь. — М.: Сов. энциклопедия, 1988. — С. 214—215.
13. Proclus. p. 57 Архивная копия от 10 декабря 2016 на Wayback Machine